Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

6 Relativistisk mekanik
Vi starter med at definere 4-kraften p˚a en partikel med massen m
Φ ≡ d d
P = (mU) = mA, (6.34)
dτ dτ
hvor vi har antaget, som vi vil gøre i det følgende, at partiklens hvileenergi og dermed
dens masse ikke p˚avirkes af kraften gennem f.eks. deformation eller eksitation, og at
derfor dm/dτ = 0. Vi bemærker, at i fraværet af en kraft forbliver P konstant. Fra
komponent-formen (6.13) af P finder vi nu
Φ = d
dτ
E
, p
c
= γ(u) d
dt
E
, p
c
hvor vi har indført den relativistiske 3-kraft defineret ved
F = dp
dt
1 dE
= γ(u)
c dt ,
F , (6.35)
d
= {γ(u)mu}. (6.36)
dt
I den ikke-relativistiske grænse reducerer F til den velkendte Newtonske kraft, F =
m du/dt = ma. Bemærk hvordan effekten dE/dt, alts˚a hastigheden med hvilken kraften
udfører arbejde p˚a partiklen og derved overfører energi til denne, danner partner med
3-kraften i 4-vektoren F, p˚a samme m˚ade som energien danner partner med 3-impulsen
i 4-vektoren P.
Af (6.34) følger, idet U og A ifølge (5.29) er ortogonale, at
Φ · U = 0. (6.37)
Tilsvarende finder vi ved anvendelse af komponent-formerne (5.22) og (6.35)
Φ · U = γ 2
dE
(u)
dt −
F · u . (6.38)
Ved sammenligning af de to udtryk f˚ar vi s˚aledes umiddelbart sammenhængen
F · u = dE
, (6.39)
dt
hvorved F tager den alternative komponent-form
F · u
Φ = γ(u) , F . (6.40)
c
Af (6.39) ser vi, at der ogs˚a i det relativistiske tilfælde gælder sammenhængen
F · dr = dE, (6.41)
som siger, at kraftens arbejde er lig med tilvæksten i partiklens energi.
108