Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

5 Rumtiden og fire-vektorer
C ′ = (1, −1, 0, 0) og D ′ = (1, 0, 1, 0). Udregn de tilsvarende 4-vektorer A, B, C og
D i S.
Vi benytter den inverse Lorentz-transformation, som p˚a matrice-form har formen
⎡
A0
⎢ A1 ⎢
⎣ A2
⎤
⎥
⎦ =
⎡
γ
⎢ γβ
⎣ 0
γβ
γ
0
0
0
1
⎤ ⎡
0
0 ⎥ ⎢
⎥ ⎢
0 ⎦ ⎣
⎤
⎥
⎦
0 0 0 1
.
Idet β = v/c = 3
5
A3
og dermed γ = 5
4
⎡
γ
⎤
⎢ γβ
A = ⎢
⎣ 0
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
5
4
3
4
0
⎡
γ(1 − β)
⎤
⎢ −γ(1 − β) ⎥
C = ⎢
⎥
⎣ 0 ⎦ =
⎡
⎢
⎣
Opgaver til Kapitel 5
86
0
A ′ 0
A ′ 1
A ′ 2
A ′ 3
f˚as da ved indsættelse
⎤ ⎡ ⎤
γ(1 + β)
⎥ ;
⎦
⎢ γ(1 + β)
⎥
B = ⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦ =
⎡ ⎤
2
⎢ 2
⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦ ;
1
2
− 1
2
0
0
0
⎤ ⎡
γ
⎤
⎥ ;
⎦
⎢ γβ
D = ⎢
⎣ 1
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
5.1 Tre begivenheder P1, P2 og P3 har i et inertialsystem rumtids-koordinater (ct, x)
med værdierne (2, 1), (7, 4) og (5, 6). Fastlæg ved at betragte de relevante rumtidsintervaller
hvilke par af begivenheder, der kan have ˚arsagssammenhæng.
5.2 To begivenheder P1 og P2 har i et inertialsystem S rumtids-koordinater (ct, x)
med værdierne (0, 0) og (1, 2). Find hastighederne af systemer, som bevæger sig
p˚a sædvanlig vis i forhold til S, s˚aledes at: a) de to begivenheder er samtidige;
og b) P2 forekommer tiden 1/c før P1. [Bemærk: Idet vi her regner rumlige koordinater
dimensionsløse, f˚ar tiden dimension af hastighed −1 . Hvis dette volder
vanskeligheder, indsæt da selv længdeenheder (f.eks. meter) for koordinaterne.]
5.3 Fem 4-vektorer er givet ved A = (5, 4, 3, 0), B = (5, 5, 0, 0), C = (1, 1, 0, 0), D =
(5, 3, 2, 0) og E = (1, 3, 2, 0).
a) Beregn kvadratet p˚a 4-vektorene og angiv hvilke 4-vektorer der er henholdsvis
tidsagtige, rumagtige, og lysagtige.
Vektorene A, B og C kan transformeres over i hinanden.
b) Hvilken type transformation transformerer A over i B.
c) Hvilken type transformation transformerer B over i C.
0
0
5
4
3
4
1
0
⎤
⎥
⎦ .