Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

η
2.10 Grafisk repræsentation af Lorentz-transformationen
ct
ct ′
ξ
(a, b)
(a ′ , b ′ )
Figur 2.6: Et 2-dimensionalt rumtidsdiagram. Ved en passiv Lorentz-transformation
ligger begivenheder i en fast position i diagrammet, mens diagrammets akser
ændrer retning, som antydet. Dette illustreres ved begivenheden, som i systemet
S har koordinaterne (a, b), mens den i S ′ har koordinaterne (a ′ , b ′ ).
bladene p˚a en saks, som lukker sig omkring 45 ◦ -linien betegnet ξ i diagrammet: Saksen
er fuldstændig ˚aben for v → −c og fuldstændig lukket for v → c.
Før vi fortsætter, er det værd og stoppe op og gøre et par punkter klart: I det
oprindelige diagram set fra S valgte vi at afbilde x- og ct-akserne ortogonale. Vi bemærker
nu, at denne ortogonalitet er uden fysisk indhold, og at vi kunne have tegnet
akserne med enhver anden endelig indbyrdes vinkel. Dette illustreres af diagrammet,
hvoraf det fremg˚ar, at S ˚abenbart er det eneste system, hvor de to akser er ortogonale.
Lad os ogs˚a understrege at x-aksens retning i diagrammet selvfølgelig intet har at gøre
med dens rumlige retning: Skønt diagrammets x- og x ′ -akser danner en endelig vinkel er
de to akser selvsagt stadig sammenfaldende i rummet.
For kalibreringen af de mærkede koordinatakser bemærker vi, at (2.18) reducerer til
c 2 t ′ 2 − x ′ 2 = c 2 t 2 − x 2 , da vi jo har antaget, at y = y ′ og z = z ′ . Indtegner vi derfor
“kalibrerings-hyperblerne”c 2 t 2 −x 2 = ±1, vil disse skære alle fire koordinatakser i enhedsafstanden
fra begyndelsespunktet. Ved udnyttelse af lineariteten er aksernes inddeling
hermed fastlagt. Bemærk alts˚a, at i rumtiden er “afstanden” fra begyndelsespunktet til
enhver af de p˚a hyperblerne afbildede begivenheder den samme (nemlig 1). At det selvfølgelig
forekommer anderledes ved betragtning af diagrammet skyldes, at repræsentationen
af rumtidens geometri p˚a det 2-dimensionale diagram ikke er tro over for afstande. Situationen
er her til en vis grad analog til afbildingen af Jordens overflade p˚a et verdenskort.
Heller ikke denne repræsentation er tro over for afstande.
x ′
x
35