Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

6.11 Den relativistiske bevægelsesligning
relativistiske bevægelsesligning, som erstatning for det klassiske, parabolske udtryk x =
1
2 gt2 .
Vi har allerede i Afsnit 2.10.2 set hvordan en konstant egen-acceleration er sammenknyttet
med en hyperbolsk bevægelse, og med resultatet fra Opgave 2.6 kunne vi
via diverse omskrivninger komme frem til en løsning p˚a det aktuelle problem. Her vil vi
imidlertid gennemføre udregningerne direkte.
Sammenhængen mellem partiklens konstante egen-acceleration, g, og accelerationen,
du/dt, i S er ifølge (5.32) givet ved
3 du d
g = γ = [uγ(u)], (6.52)
dt dt
hvor vi for sidste ligning har benyttet identiteten d(γv) = γ 3 dv, som let eftervises. Ved
integration med hensyn til t f˚as heraf
gt = uγ(u) =
u
, (6.53)
1 − u2 /c2 hvor vi har benyttet, at u = 0 til tiden t = 0. Ved isolering af u f˚as da
u =
gt
. (6.54)
1 + (gt/c) 2
Vi ser, at for sm˚a tider, t ≪ c/g, er u gt, som forventet i det ikke-relativistiske tilfælde.
Videre ser vi, som ventet, at u → c for store tider, t ≫ c/g.
Ved at integrere endnu engang med hensyn til t finder vi dernæst den tilbagelagte
vejlængden
x = c2
g
⎡
⎣
1 +
2 gt
c
⎤
− 1⎦
, (6.55)
hvor vi har benyttet grænsebetingelsen x = 0 for t = 0. Korrektheden af dette udtryk
eftervises enklest ved differentiation. For sm˚a tider, t ≪ c/g, genfinder vi ved rækkeudvikling
det klassiske udtryk x = 1
2 gt2 . Udtrykket (6.55) kan skrives p˚a formen
eller tilsvarende
xg
2 + 1 −
c2 gt
c
2
= 1, (6.56)
(x + c 2 /g) 2 − (ct) 2 = (c 2 /g) 2 , (6.57)
og bevægelsen ses s˚aledes at danne en hyperbel i rumtidsdiagrammet med en asymptote,
givet ved lyskeglen x = ct−c 2 /g, som skitseret p˚a Figur 6.6. Bemærk, at et lyssignal, der
udsendes til tiden t = c/g fra x = 0 vil følge asymptoten og dermed aldrig n˚a partiklen.
Asymptoten kaldes det accelererede systems begivenheds-horisont, idet en iagttager i det
accelererede system ikke vil kunne modtage information om begivenheder, der sker i
x = 0 til tider t ≥ c/g.
111