Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet
Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet
Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
3 Relativistisk kinematik<br />
Gennemregnede eksempler <strong>til</strong> Kapitel 3<br />
54<br />
3.1 En muon har middelleveti<strong>den</strong> 2.2 × 10 −6 s. Muoner dannes i de højere lag af<br />
atmosfæren; de er efterkommere af pioner, der dannes n˚ar <strong>den</strong> primære kosmiske<br />
str˚aling fra ver<strong>den</strong>srummet støder mod atomkerner i atmosfæren.<br />
Antag at vi betragter muoner med middelvejlæng<strong>den</strong> 10 km. Find disses hastighed.<br />
Generelt bevæger en partikel med leveti<strong>den</strong> τ sig vejlæng<strong>den</strong> d = γvτ = γβcτ i<br />
laboratoriet før <strong>den</strong> henfalder. Vejlæng<strong>den</strong> er alts˚a proportional med γβ. Vi søger<br />
her hastighe<strong>den</strong>, alts˚a β. Lad os være generelle og foretage følgende omskrivning,<br />
som let eftervises,<br />
Hermed er<br />
hvoraf<br />
β =<br />
βγ =<br />
1<br />
β −2 − 1 .<br />
1<br />
=<br />
β−2 − 1 d<br />
cτ ,<br />
<br />
1 +<br />
<br />
cτ<br />
<br />
2<br />
−1/2<br />
. (3.20)<br />
d<br />
Ved indsættelse af de opgivne talværdier f˚as da det efterspurgte resultat, β = 0.998.<br />
Ofte er man interesseret i partiklens γ-værdi. Her kan vi <strong>til</strong>svarende foretage omskrivningen<br />
βγ = γ 2 − 1,<br />
hvoraf nu f˚as<br />
γ =<br />
<br />
1 +<br />
Ved indsættelse af talværdier f˚as da resultatet, γ = 15.2.<br />
<br />
2<br />
1/2<br />
d<br />
. (3.21)<br />
cτ<br />
De fundne værdier af β og γ skal selvsagt stemme overens, hvilket let kontrolleres.<br />
3.2 Et rumskib rejser væk fra Jor<strong>den</strong> med hastighe<strong>den</strong> c/2. P˚a et tidspunkt udsender<br />
<strong>den</strong> en redningsb˚ad i en vinkel p˚a 60 ◦ i forhold <strong>til</strong> sin bevægelsesretning med hastighe<strong>den</strong><br />
c/3, begge m˚alt i rumskibets inertialsystem. Find størrelsen og retningen<br />
af redningsb˚a<strong>den</strong>s hastighed m˚alt i Jord-systemet.<br />
Vi lader S og S ′ betegne henholdsvis Jord-systemet og raketsystemet, og orienterer<br />
x-aksen og dermed x ′ -aksen i rumskibets retning. Vi kan da anvende udtrykkene<br />
(3.11) for sammensætning af hastigheder direkte, idet v s˚aledes angiver rumskibets<br />
hastighed, og u og u ′ angiver redningsb˚a<strong>den</strong>s hastighed i de to systemer. Dermed<br />
er v = c/2, u ′ x = u′ cos θ ′ = c/6, og u ′ y = u′ sin θ ′ = ( √ 3/6)c. Ved indsættelse f˚as<br />
da<br />
ux =<br />
1 1<br />
2 + 6<br />
1 + 1<br />
2<br />
· 1<br />
6<br />
c = 8<br />
13 c og uy =<br />
√ 3<br />
6<br />
2<br />
√ 3 (1 + 1<br />
2<br />
3<br />
1 c =<br />
· 6 ) 13 c