Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

2 Lorentz-transformationen
O
ct
A
Figur 2.7: En stang med enhedslængden ligger i ro langs x-aksen i S. I S ′ har stangen
længden |OA|, som er kortere end enhedslængden.
Anvendelser
Som et første eksempel p˚a anvendelsen af denne grafiske repræsentation af Lorentztransformationen
kan vi betragte den punkterede linie p˚a Figur 2.6, som repræsenterer
en jævn bevægelse med overlyshastighed af et punkt i S. Hvis vi nu forestiller os, at
hastigheden af S ′ gradvist øges, vil x ′ - og t ′ -akserne lukke sig mere mod hinanden indtil
x ′ -aksen først er sammenfaldende med og senere passerer linien. I det første tilfælde
tilsvarer punktets bevægelse en uendelig hastighed i S ′ ; i det sidste tilfælde bevæger den
sig i den modsatte rumlige retning nemlig fra større imod mindre x ′ -værdier.
Ogs˚a længdeforkortningen og tidsforlængelsen kan aflæses af et rumtidsdiagram. Det
skraverede omr˚ade i Figur 2.7 repræsenterer en stang med enhedslængden i hvile p˚a den
rumlige x-akse i S. I S ′ bevæger stangen sig med hastigheden −v og optager til tiden
t ′ = 0 stykket OA langs x ′ -aksen. Dette stykke er kortere end afstanden (langs x ′ -aksen)
til “kalibreringshyperblen” og stangen er dermed kortere end i S.
P˚a Figur 2.8 er ct ′ -aksen verdenslinien for et standard-ur, som er anbragt i et punkt
med x ′ = 0, og som derfor bevæger sig gennem S med hastigheden v. Ved B, hvor uret
krydser kalibreringshyperblen, viser uret ct ′ = 1. Imidlertid er den tilsvarende tid ct i S
˚abenbart større end 1. Det bevægede ur g˚ar alts˚a langsomt.
2.10.2 Aktive Lorentz-transformationer
Under den aktive synsvinkel, bevirker Lorentz-transformationen en flytning af ethvert
(verdens-)punkt (ct, x) til en ny beliggenhed (ct ′ , x ′ ) i det samme diagram med uændrede
koordinatakser. Det samme diagram kan dermed benyttes til at repræsentere S og et
vilk˚arligt andet system, S ′ . Havde vi haft at gøre med en rotation i det sædvanlige
3-dimensionale rum omkring f.eks. z-aksen, ville punkterne have udført en bevægelse
langs et sæt af cirkler defineret ved x 2 + y 2 = konst. Under Lorentz-transformation
foreg˚ar bevægelsen imidlertid langs et sæt af hyperbler (ct) 2 − x 2 = konst., som vist p˚a
36
ct ′
x ′
x