Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

5 Rumtiden og fire-vektorer
y
Figur 5.1: Et eksempel p˚a et 3-dimensionalt rumtidsdiagram, som afbilder lyskeglen
omkring begyndelsespunktet, c 2 t 2 − x 2 − y 2 = 0, og de to hyperboloider
c 2 t 2 − x 2 − y 2 = 1 (indre to-delt) og c 2 t 2 − x 2 − y 2 = −1 (ydre).
5.2 Tre-dimensionale rumtidsdiagrammer
Vi har allerede stiftet bekendtskab med rumtidsdiagrammer i Afsnit 2.9, hvor et eksempel
p˚a et 2-dimensionalt diagram er vist p˚a Figur 2.5. Vi vil nu udvide formalismen til
at omfatte ogs˚a 3-dimensionale diagrammer. Gennem anvendelse af perspektiv har vi
vænnet os til afbildinger af det sædvanlige 3-dimensionale rum p˚a et fladt stykke papir.
Rumtiden er 4-dimensional, og lader sig derfor p˚a ingen m˚ade afbilde p˚a papiret i sin
helhed. Lader vi imidlertid én dimension ude, f.eks. den rumlige z-retning, kan vi igen
benytte den perspektivistiske metode og danne en meningsfuld afbildning. Imidlertid m˚a
vi ved betragtning af et s˚adant diagram forsøge at kompensere for fraværet af den sidste
rumlige dimension ved at aflæse cirkler som sfærer, planer som Euklidisk rum etc. Som
et eksempel viser Figur 5.1 hyperboloiderne
ct
c 2 t 2 − x 2 − y 2 = ±1, (5.3)
som fremkommer ved en drejning af de i Figur 2.6 viste hyperbler c 2 t 2 − x 2 = ±1
omkring ct-aksen. Den indre (to-delte) hyperboloide repræsenterer alle begivenheder,
der tilfredsstiller c 2 t 2 − x 2 − y 2 = 1, mens den ydre hyperboloide repræsenterer begivenhederne,
der tilfredsstiller c 2 t 2 − x 2 − y 2 = −1. Idet hældningen af en fysisk partikels
verdenslinie i forhold til lodret er et m˚al for partiklens hastighed, u/c, kan denne som
tidligere anført ikke p˚a noget sted overstige 45 ◦ . Fotoner repræsenteres ved rette linier
som danner en vinkel p˚a 45 ◦ med ct-aksen.
74
x