Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

2.5 Udledelse af Lorentz-transformationen
indeholder s˚aledes ikke konstante led. I den nærværende sammenhæng er homogeniteten
ikke af større betydning, idet den blot skyldes vores antagelse om sammenfaldet af de to
inertialsystemer til tiden t = t ′ = 0. Hvis vi ikke lader S og S ′ falde sammen p˚a denne
m˚ade, bliver transformationen ikke homogen, men stadig lineær.
Det er klart, at ogs˚a Lorentz-transformationen (2.4) med vore antagelser m˚a blive
homogen. Vi vil i det følgende g˚a ud fra, at den ogs˚a er lineær og derfor kan skrives p˚a
formen
x ′ = γx + ρt,
t ′ = κx + σt,
(2.6)
hvor γ, ρ, κ og σ kan afhænge af hastigheden v, men er uafhængige af x og t. Denne
sætning kan bevises helt stringent, men vi skal her nøjes med ved et enkelt eksempel at
belyse de ubehagelige konsekvenser, der ville følge af en ikke-lineær transformation.
Eksempel 2.1 En ikke-lineær transformation
Lad os betragte en ikke-lineær transformation af formen
x ′ = ax 2 + bt 2 ,
t ′ = cx + dt.
Antag, at en partikel bevæger sig jævnt p˚a x-aksen efter formlen
hvor u er en konstant. Vi f˚ar da for x ′ og t ′
og ved at eliminere t f˚ar vi derfor
x = ut,
x ′ = au 2 t 2 + bt 2 = (au 2 + b)t 2 ,
t ′ = cut + dt = (cu + d)t,
x ′ = au2 + b
(cu + d) 2 t′ 2 ,
hvilket viser, at bevægelsen, der var jævn i forhold til S, vil være jævnt accelereret i
forhold til S ′ . Dette strider naturligvis imod, at de to systemer begge er forudsat at være
inertialsystemer.
Øvelse 2.1 Vis, at med den lineære transformation (2.6) vil en vilk˚arlig bevægelse, der
er jævn i forhold til S ogs˚a være jævn i forhold til S ′ .
25