Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

2 Lorentz-transformationen
et vilk˚arligt andet inertialsystem S ′ . Ogs˚a i relativitetsteorien kan vi uden indskrænkning
antage, at de to inertialsystemer S og S ′ er s˚aledes indrettede, at de er i standardkonfigurationen
(Figur 1.1). Vor opgave er alts˚a med udgangspunkt i det specielle relativitetsprincip
at bestemme sammenhængen mellem de to koordinatsæt, som formelt kan
skrives p˚a formen
x ′ = fx(x, y, z, t; v),
y ′ = fy(x, y, z, t; v),
z ′ = fz(x, y, z, t; v),
t ′ = ft(x, y, z, t; v),
(2.2)
hvor de fire funktioner fx, fy, fz og ft udover afhængigheden af det oprindelige koordinatsæt
kan afhænge af den relative hastighed v af S og S ′ .
De transversale koordinater
Ved diskussionen i Afsnit 2.2 inds˚a vi, at dimensioner vinkelret p˚a bevægelsesretningen
vil være uforandrede. Vi kan derfor uden videre slutte, at for enhver begivenhed er
y ′ = y, og z ′ = z. (2.3)
Hermed har vi bestemt to af transformationsligningerne (2.2), som i deres trivielle form
ikke adskiller sig fra de tilsvarende i Galilei-transformationen. Vi indser yderligere, at
de to funktioner fx og ft i (2.2) ikke kan afhænge af y og z, idet en s˚adan afhængighed
ville bryde med rummets homogenitet. Specifikt kan vi betragte to begivenheder, der
har samme x-værdi og er samtidige i S. De kan f.eks. have koordinaterne (x, y, z, t) og
(x, 0, 0, t). Da de finder sted i samme plan vinkelret p˚a den relative bevægelsesretning og
er samtidige i S, m˚a de ogs˚a være samtidige i S ′ , hvorfor alts˚a ft(x, y, z, t) = ft(x, 0, 0, t).
Tilsvarende argumenter anvendes p˚a funktionen fx.
Transformationen er lineær
De to resterende transformationsligninger tager nu formen
x ′ = fx(x, t; v),
t ′ = ft(x, t; v).
Galilei-transformationen tager sig til sammenligning s˚aledes ud
x ′ = x − vt,
t ′ = t,
(2.4)
(2.5)
og er øjensynlig af typen (2.4). Transformationen (2.5) er lineær, hvorved blot forst˚as,
at x ′ og t ′ er polynomier af første grad i x og t. Ydermere er transformationen homogen,
hvorved menes, at (x, t) = (0, 0) medfører (x ′ , t ′ ) = (0, 0). En homogen transformation
24