Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

2 Lorentz-transformationen
og
c 2 dt ′ 2 − dx ′ 2 − dy ′ 2 − dz ′ 2 = c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 . (2.20)
Hvor gyldigheden af (2.18), som tidligere anført, er betinget af, at de to systemer S og
S ′ er sammenfaldende til tiden t = t ′ = 0, gælder der ingen s˚adan begrænsning p˚a (2.19)
og (2.20), da disse jo involverer koordinatdifferenser.
Idet afstanden mellem to nabo-punkter i det Euklidiske rum er
tager (2.20) ogs˚a formen
dr 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 , (2.21)
c 2 dt ′ 2 − dr ′ 2 = c 2 dt 2 − dr 2 . (2.22)
Lad os betragte en effekt, der i S udbreder sig med lyshastigheden, hvorved alts˚a dr 2 =
c 2 dt 2 . Hermed forsvinder højresiden, og venstresiden m˚a da gøre det samme. Der m˚a
alts˚a i ethvert inertialsystem S ′ gælde, at dr ′ 2 = c 2 dt ′ 2 . Ogs˚a i dette system udbreder
effekten sig da med lyshastigheden. Vi bekræftes alts˚a i, at vi p˚a korrekt m˚ade har f˚aet
indbygget lyshastighedens invarians i teorien.
Den fælles værdi af de to kvadratiske former i (2.19) kaldes kvadratet af forskydningen
mellem de to aktuelle begivenheder:
∆s 2 ≡ c 2 ∆t 2 − ∆x 2 − ∆y 2 − ∆z 2 . (2.23)
Den kan˚abenbart være positiv, negativ eller nul og m˚a derfor ikke opfattes som kvadratet
af et almindeligt tal. Kvadratroden af absolutværdien, alts˚a ∆s = |∆s 2 |, kaldes intervallet
mellem de to begivenheder.
Indskud 2.3 Vedrørende relativistisk notation
Der har i relativitetsteorien udviklet sig en notation omkring ∆’er og differentialer, som
ikke er matematisk stringent. Vi har her valgt at følge denne notation, skønt den m˚aske
i begyndelsen kan forekomme forvirrende. Som et eksempel lyder den matematisk stringente
form af (2.19)
c 2 (∆t ′ ) 2 − (∆x ′ ) 2 − (∆y ′ ) 2 − (∆z ′ ) 2 = c 2 (∆t) 2 − (∆x) 2 − (∆y) 2 − (∆z) 2 ,
og tilsvarende for (2.20)
c 2 (dt ′ ) 2 − (dx ′ ) 2 − (dy ′ ) 2 − (dz ′ ) 2 = c 2 (dt) 2 − (dx) 2 − (dy) 2 − (dz) 2 .
Tager vi f.eks. ledet (∆x) 2 , angiver dette kvadratet p˚a forskellen mellem to begivenheders
x-koordinater. Af bekvemmeligheds˚arsager er det blevet en konvention i relativitetsteorien
at skrive dette p˚a formen ∆x 2 , skønt denne notation strengt taget antyder en
ændring (eller forskel) i kvadratet p˚a x og ikke, som ønsket, kvadratet p˚a ændringen
(eller forskellen) i x.
30