Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

B Rækkeudvikling i relativitetsteorien
I relativitetsteorien har man igen og igen behov for at estimere værdien af γ-funktionen
γ =
1
, (B.1)
1 − v2 /c2 i den ikke-relativistiske grænse, hvor v ≪ c. Dette gøres ved rækkeudvikling.
Det første vi bemærker er, at γ er en funktion af v 2 /c 2 og derfor er af formen
f(ɛ) = (1 − ɛ) a , (B.2)
hvor a = − 1
2 . For sm˚a værdier af ɛ vælger vi at rækkeudvikle til første orden omkring
ɛ = 0, s˚aledes at
f(ɛ) f(0) + ɛ df(ɛ)
. (B.3)
dɛ
Ved at følge normale differentiationsregler f˚ar vi
hvoraf
ɛ=0
df(ɛ)
dɛ = −a(1 − ɛ)a−1 , (B.4)
df(ɛ)
dɛ
ɛ=0
Vi indsætter nu i (B.3) og har dermed vist sammenhængen
Anvender vi nu dette p˚a γ-funktionen, finder vi
= −a. (B.5)
(1 − ɛ) a 1 − aɛ. (B.6)
1
1 − v 2 /c 2
1 + 1
2
v2 . (B.7)
c2 127