Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

2 Lorentz-transformationen
2.10 Grafisk repræsentation af Lorentz-transformationen
Det der væsentligt adskiller Lorentz-transformationen fra Galilei-transformationen er, at
b˚ade rum- og tids-koordinaterne transformerer, og at de sammenblandes p˚a en m˚ade,
der kan minde om sammenblandingen af x- og y-koordinaterne under en rotation i det
sædvanlige retvinklede x, y-plan. Vi vil i dette afsnit udforske denne lighed nøjere, idet
vi begrænser os til koordinaterne t og x, som indg˚ar p˚a ikke-triviel m˚ade i Lorentztransformationen.
Som ved enhver anden transformation er der to m˚ader, hvorp˚a man kan betragte koordinattransformationen
(t, x) ↦→ (t ′ , x ′ ). Enten tænker man sig, at punktet (t, x) flytter
sig til en ny position (t ′ , x ′ ) i forhold til det samme sæt af koordinatakser. Transformationen
opfattes alts˚a som en bevægelse i t, x-rummet. Dette kaldes en aktiv transformation.
Ellers betragter man blot (t ′ , x ′ ) som en ny betegnelse for det gamle punkt (t, x). Dette
tilsvarer en bevægelse af koordinatakserne, og kaldes en passiv transformation.
Indskud 2.4 Aktive versus passive transformationer
Distinktionen mellem aktive og passive transformationer kan illustreres ved hjælp af en
bybus, som bevæger sig fra ét stoppested til det næste. Under den aktive synsvinkel
betragter man bussen fra fortovskanten og ser at bussen flytter sig. Under den passive
synsvinkel sidder man som iagttager inde i bussen. Bussen er s˚aledes i ro i forhold til iagttageren,
men til gengæld f˚ar b˚ade bus og iagttager nye koordinater. Set fra bussen flytter
koordinatakserne (fortovskanten) sig i modsat retning af bussens bevægelsesretning.
2.10.1 Passive Lorentz-transformationer
P˚a Figur 2.6 findes afbildet et rumtidsdiagram, hvor x- og ct-akserne tilsvarer inertialsystemet
S. Lad os nu betragte det samme fysiske system fra inertialsystemet S ′ , som
bevæger sig i forhold til S p˚a sædvanlig m˚ade. Idet S ′ dermed deler x-akse med S,
kan vi ˚abenbart benytte det samme diagram til at beskrive, hvad der sker set fra S ′ .
Transformationen fra S til S ′ vil da blot give sig udtryk i, at x ′ - og ct ′ -akserne ligger
anderledes i det afbildede plan end x- og ct-akserne. Vi vil nu undersøge dette forhold.
Tidspunkter i S tilfredsstiller ligningen t = konst. og tilsvarer vandrette linier, mens
verdenslinierne for faste punkter i S tilsvarer lodrette linier, x = konst. P˚a tilsvarende vis
tilfredsstiller tidspunkter i S ′ ligningen t ′ = konst. og dermed ifølge (2.13) ct − (v/c)x =
konst., s˚aledes at de i diagrammet tilsvarer rette linier med hældningen v/c relativ til
x-aksen. I særdeleshed er x ′ -aksen (t ′ = 0) givet ved ct = (v/c)x. Videre tilfredsstiller
verdenslinierne for faste punkter i S ′ ligningen x ′ = konst., og dermed ifølge (2.13)
x − (v/c)ct = konst., hvorfor de i diagrammet tilsvarer rette linier med hældningen v/c
relativ til ct-aksen. I særdeleshed er t ′ -aksen (x ′ = 0) givet ved x = (v/c)ct. Vi ser
s˚aledes, at akserne i S ′ danner vinkler af samme størrelse med hensyn til de tilsvarende
akser i S. Men hvor disse vinkler under en rotation ville have haft samme retning, er
de under Lorentz-transformationen modsatrettede. S ′ kan have enhver hastighed mellem
−c og c i forhold til S, og de tilsvarende x ′ - og ct ′ -akser vil i diagrammet opføre sig som
34