Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

2 Lorentz-transformationen
Dette ligningssæt kan uden videre løses med hensyn til variablerne x, y, z, t, hvorved vi
finder den omvendte transformation:
x = γ (x ′ + vt ′ ),
y = y ′ ,
z = z ′ ,
t = γ (t ′ + vx ′ /c 2 ).
(2.14)
Disse transformationsligninger svarer til, at S i forhold til S ′ bevæger sig med hastigheden
−v efter x ′ -aksen.
Lad os her kommentere p˚a følgende tre egenskaber ved Lorentz-transformationen:
i) Relativiteten af samtidighed: Det mest sl˚aende nye træk ved Lorentz-transformationen
er reglen for tidstransformation, som udtrykker at samtidighed er et relativt
begreb: begivenheder med samme t tilsvarer i almindelighed ikke begivenheder med
samme t ′ .
ii) Symmetri i x og ct: Ligningerne (2.13) og (2.14) er symmetriske ikke alene i y og
z, men ogs˚a i x og ct. Dette verificeres let ved at gange den sidste ligning igennem
med c.
iii) Den Newtonske grænse: Ved rækkeudvikling 2 af γ-funktionen i størrelsen v 2 /c 2 f˚as
γ(v) = 1 + 1
2
v2 + . . . (2.15)
c2 For sm˚a hastigheder, v/c ≪ 1, er alts˚a γ 1, hvorfor Lorentz-transformationen
reducerer til Galilei-transformationen (1.4), som vi m˚a kræve. Samme konklusion
n˚as selvfølgelig, hvis vi formelt lader c → ∞.
2.6 Lorentz-transformationen p˚a differens- og differential-form
Lad os betragte to begivenheder P1 og P2, som i inertialsystemet S har de respektive
koordinater (x1, y1, z1, t1) og (x2, y2, z2, t2). Svarende hertil har vi de fire koordinatdifferencer
∆x = x2 − x1, ∆y = y2 − y1, ∆z = z2 − z1, ∆t = t2 − t1.
Vi søger nu at finde de tilsvarende størrelser i inertialsystemet S ′ , som bevæger sig i
forhold til S p˚a vanlig m˚ade. Vi begynder med x-koordinaten og finder ved anvendelse
af Lorentz-transformationen (2.13)
∆x ′ = x ′ 2 − x′ 1 = γ(x2 − vt2) − γ(x1 − vt1) = γ[(x2 − x1) − v(t2 − t1)] = γ(∆x − v∆t).
2 Se Appendiks B
28