Kernstruktur mit effektiven Dreiteilchenpotentialen - Technische ...

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Kapitel 2 · Die Methode der unitären Korrelatoren Die Berechnung von Matrixelementen eines Operators O mit korrelierten Zuständen ist äquivalent zur Berechnung dieser Matrixelemente mit unkorrelierten Zuständen und statt dessen korreliertem Operator Õ [2, 3, 4, 5]: 〈 ˜ Ψ|O| ˜ Ψ ′ 〉 = 〈Ψ|C † OC|Ψ ′ 〉 = 〈Ψ| Õ|Ψ′ 〉 . (2.2) Dabei ergibt sich der korrelierte Operator aus der Ähnlichkeitstransformation Õ = C † OC = C −1 OC . (2.3) Da es sich bei dem Korrelator C um einen unitären Operator handelt, ist die Darstellung mit korrelierten Zuständen äquivalent zu der mit korrelierten Operatoren. Daher kann je nach Anwendung die günstigere Möglichkeit ausgewählt werden. Im Rahmen dieser Transformation werden zwei Korrelationsarten behandelt. Zum einen gibt es starke kurzreichweitige Zentralkorrelationen, die aus der kurzreichweitigen Abstoßung der nuklearen Wechselwirkung resultieren (vgl. Abbildung 1.1). Zum anderen hat die Tensorkraft der Wechselwirkung starke Tensorkorrelationen zur Folge. Diese Tensorkorrelationen haben sowohl kurzreichweitige als auch langreichweitige Anteile. Mit dem Korrelationsoperator wird nur der kurzreichweitige Teil behandelt, worauf in Abschnitt 2.4 noch genauer eingegangen wird. Aufgrund dieser zwei verschiedenartigen Korrelationen wird auch der Korrelationsoperator in zwei Teile aufgespalten [5, 17]: C = CΩCr , (2.4) wobei Cr den unitären Zentralkorrelator beschreibt und CΩ den unitären Tensorkorrelator. Der Einfluß der erwähnten Korrelationen ist bereits am Beispiel des Deuterons deutlich zu erkennen [5, 17, 18]. Der Gesamtspin des Deuterons beträgt S = 1. Auf der linken Seite von Abbildung 2.1 ist die spinprojizierte Zweiteilchendichteverteilung für den Fall dargestellt, daß die magnetische Spinquantenzahl MS = 0 beträgt, das bedeutet, daß die Spins der beiden Nukleonen antiparallel zueinander ausgerichtet sind. Die Oberfläche ist bei einer Dichte von 0.005 fm −3 eingezeichnet. Die rechte Seite der Abbildung zeigt die Dichteverteilung des Deuterons für den Fall, daß die Spins der Nukleonen parallel zueinander stehen, also MS = ±1. In beiden Fällen ist die Wahrscheinlichkeit, beide Nukleonen am gleichen Ort zu finden, sehr gering, da sie durch die abstoßenden Zentralkorrelationen voneinander entfernt werden. Die Tensorkorrelationen hängen von der Orientierung der Spins ab. Sie führen dazu, daß sich im Fall von antiparallelen Spins die maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das zweite Teilchen 8
MS = 0 √1 ( 2 ↑↓ + ↓↑ ) S ↑ MS = ±1 ↑↑ , ↓↓ Abbildung 2.1: Zweiteilchendichteverteilung des Deuterons. Die Oberfläche zeigt eine Dichte von 0.005fm −3 . Die Dichteverteilung wurde auf die beiden Möglichkeiten von antiparallelen Spins (links) beziehungsweise parallelen Spins (rechts) projiziert (aus [17]). in einem Torus um das erste Teilchen konzentriert, dagegen bildet sich bei parallelen Spins eine Art Hantel aus. Allein an diesem Beispiel ist zu erkennen, daß diese Korrelationen einen wesentlichen Beitrag zu den Eigenschaften der Kerne liefern und es daher sinnvoll ist, sie explizit zu behandeln. Da es sich bei den hier verwendeten Korrelatoren um unitäre Operatoren handelt, können sie als Exponentialfunktion eines hermiteschen Generators G geschrieben werden [3, 17]: Cr = e −iGr = exp{−i i
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