Kernstruktur mit effektiven Dreiteilchenpotentialen - Technische ...

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Kapitel 2 · Die Methode der unitären Korrelatoren Auf diese Weise lassen sich zum Beispiel die Radialabhängigkeiten der Zweiteilchenwechselwirkung korrelieren: c † r vi ST (r)cr = v i ST (R+(r)). Für die Komponenten des Relativimpulses ergibt sich nach Anwendung des Zentralkorrelators [17] c † r qrcr = 1 R ′ +(r) qr 1 R ′ +(r) und für den quadratischen Radialteil erhält man c † rq 2 rcr = 1 1 2 R ′ +(r) 2 q2r + q 2 r 1 R ′ +(r) 2 bzw. c † r q Ωcr = r R+(r) q Ω , (2.39) + 7R′′ + (r)2 4R ′ +(r) R′′′ + − 4 (r) 2R ′ . (2.40) 3 +(r) Dabei fällt auf, daß zusätzlich zum impulsabhängigen Teil ein lokales Potential erzeugt wird. Alle anderen Operatoren, die in der Zweiteilchenwechselwirkung auftreten (l 2 , (l·s), s12 und s12(l,l)) sowie alle Operatoren, die bei Anwendung des Tensorkorrelators durch die Baker-Campbell-Hausdorff-Entwicklung generiert werden (¯s12(q Ω,q Ω), ...), sind invariant unter der Ähnlichkeitstransformation des Zentralkorrelators. Korrelierte Wechselwirkung Aus den Beziehungen der vorangegangenen Unterabschnitte lassen sich die Ausdrücke für die korrelierte kinetische Energie ˜t [2] r = c † rc † ΩtrcΩcr − tr und ˜t [2] Ω = c† rc † ΩtΩcΩcr − tΩ sowie für die korrelierte Zweiteilchenwechselwirkung ˜ V [2] = c † rc† ΩVcΩcr direkt ablesen. Die korrelierte Wechselwirkung VUCOM kann ebenso wie die unkorrelierte Zweiteilchenwechselwirkung in Operatorform dargestellt werden [17, 19]: VUCOM = ST + {˜v c ST {˜v ls (r) + 1 2 [˜vqr2 ST (r)q2r + q2r ˜vqr2 ST T + ˜v tqq T (r)¯s12(q Ω,qΩ) + . . . }Π1T . (r)] + ˜vl2 T (r)(l · s) + ˜vt T (r)s12 + ˜v tll T (r)s12(l,l) ST (r)l2 }ΠST (2.41) Dabei deuten die Punkte an, daß hier nicht alle Operatoren, die durch die Baker- Campbell-Hausdorff-Entwicklung generiert werden, aufgeschrieben wurden. Die Existenz dieser Operatordarstellung ist wesentlich für einige Vielteilchenmodelle, die nicht auf einfachen Basen, wie zum Beispiel harmonischen Oszillatorzuständen oder ebenen Wellen, aufgebaut sind. Darüber hinaus können ohne großen 20
2.6 · Korrelierte Matrixelemente Aufwand verschiedene Observablen untersucht werden. Es müssen lediglich alle Operatoren konsistent transformiert werden [19]. Die Anwendung der Korrelatoren auf Observablen wie zum Beispiel quadratische Radien, Dichten, Impulsverteilungen oder Übergangsmatrixelemente verläuft analog zur Transformation der Wechselwirkung. Eine wesentliche Eigenschaft der korrelierten Wechselwirkung VUCOM liegt in der kurzen Reichweite der Korrelationsoperatoren begründet. Bei der unitären Transformation bleiben die asymptotischen Eigenschaften einer Zweiteilchenwellenfunktion unverändert. Das bedeutet, daß die Streuphasen der unkorrelierten Zweiteilchenwechselwirkung erhalten bleiben [17, 19]. Durch die Anwendung der unitären Transformation erhält man also wiederum ein realistisches Potential, das als Ausgangspunkt für <strong>Kernstruktur</strong>rechnungen verwendet werden kann. Dieses neue Potential hat den Vorteil, daß es die kurzreichweitigen Korrelationen bereits enthält. 2.6 Korrelierte Matrixelemente Nachdem im letzten Abschnitt die Operatordarstellung der korrelierten Wechselwirkung abgeleitet wurde, sollen nun ihre Zweiteilchenmatrixelemente berechnet werden. Dazu werden allgemeine Relativzustände |n(LS)JM TMT 〉 <strong>mit</strong> der Radialquantenzahl n, dem Bahndrehimpuls L, Spin S, Gesamtdrehimpuls J, M und Isospin T, MT verwendet. Die Matrixelemente haben daher die Gestalt [19] 〈n(LS)JM TMT |VUCOM|n ′ (L ′ S)JM TMT 〉 . (2.42) Die folgenden Berechnungen sind unabhängig von der gewählten Basis, es müssen lediglich die Drehimpulse wie in Gleichung (2.42) gekoppelt werden. Der Schwerpunktanteil der Zustände wird hier nicht behandelt, da er invariant unter Anwendung der unitären Korrelatoren ist. Darüber hinaus werden hier nur die ladungsunabhängigen Terme der Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung betrachtet. Daher hängen die Matrixelemente nicht von den Projektionsquantenzahlen M und MT ab, die im folgenden weggelassen werden. Für die Berechnung der Matrixelemente kann die korrelierte Wechselwirkung in Operatordarstellung eingesetzt werden. Für diese Darstellung wurde allerdings die Baker- Campbell-Hausdorff-Entwicklung nach einem bestimmten Kriterium begrenzt (siehe Abschnitt 2.5). Diese Näherung kann bei der Berechnung von Matrixelementen umgangen werden. Im Gegensatz zur korrelierten Wechselwirkung können die Matrixelemente exakt angegeben werden. Dazu wird der Tensorkorrelator auf die Zweiteilchenzustände angewendet und der Zentralkorrelator weiterhin auf die Operatoren. Daraus folgt, daß 21
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[15] R. Machleidt. The meson theory
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