Kernstruktur mit effektiven Dreiteilchenpotentialen - Technische ...

Kapitel 3 · Die Hartree-Fock-Methode
setzen sich zusammen aus den Matrixelementen H (ljmt,l′ j ′ m ′ t )
nn ′ ,¯n¯n ′
des Hamiltonoperators und den Matrixelementen V (3)(ljmt,l′ j ′ m ′ t ,l′′ j ′′ m ′′
t )
nn ′ n ′′ ,¯n¯n ′ ¯n ′′
chenwechselwirkung. Die Einteilchendichtematrix ist durch
=
̺ (ljmt)
¯nn
ν
O (νljmt) C (νljmt)∗
¯n C (νljmt)
n
des Zweiteilchenanteils
der Dreiteil-
(3.43)
gegeben, wobei O (νljmt) die Anzahl der besetzten magnetischen Unterzustände in der
jeweiligen Schale angibt [20]. Für abgeschlossene Schalen gilt O (νljmt) = 2j + 1.
Die m-gemittelten, antisymmetrisierten Matrixelemente des Zweiteilchenanteils
H (2)
int = Tint + VUCOM des Hamiltonoperators lassen sich folgendermaßen schreiben
[20]:
H (ljmt,l′ j ′ m ′ t )
nn ′ ,¯n¯n ′
=
1
(2j + 1)(2j ′ + 1)
mm ′
〈nljmmt, n ′ l ′ j ′ m ′ m ′ t |H(2)
int |¯nljmmt, ¯n ′ l ′ j ′ m ′ m ′ t
(3.44)
Alternativ können die Einteilchendrehimpulse zu einem Gesamtdrehimpuls gekoppelt
werden:
H (ljmt,l′ j ′ m ′ t )
nn ′ ,¯n¯n ′ =
1
2
Dabei ist c
1
2
mt m ′
t
T
MT
JTMT
(2J + 1)
(2j + 1)(2j ′ + 1) c
1
2
1
2
mt m ′
t
T
2 MT
×〈nlj, n ′ l ′ j ′ ; JTMT |H (2)
int |¯nlj, ¯n′ l ′ j ′ ; JTMT 〉 .
〉 .
(3.45)
ein Clebsch-Gordan-Koeffizient, der zur Kopplung bezie-
hungsweise Entkopplung von Drehimpulsen dient (siehe Gleichung (4.9)).
Die Berechnung der Matrixelemente wurde in Abschnitt 2.6 behandelt. Allerdings
wurden dort LS-gekoppelte Matrixelemente betrachtet und hier werden jj-gekoppelte
benötigt. In der Basis des harmonischen Oszillators kann die Transformation zwischen
den beiden Kopplungsarten mit Hilfe der sogenannten Talmi-Moshinsky-Transformation
[21, 22] und einigen Drehimpulsumkopplungen durchgeführt werden [20]:
〈n1l1j1, n2l2j2, JT |H (2)
38
×
⎪⎨
LL ′ S NΛ
νλ
ν ′ λ ′
int |n′ 1 l′ 1 j′ 1 , n′ 2 l′ 2 j′ 2 , JT 〉 = (2j1 + 1)(2j2 + 1)(2j ′ 1 + 1)(2j′ 2
j
⎧
⎪⎩
l1 l2 L
1
2
1
2 S
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
j1 j2 J
⎫⎧
l ′ 1 l ′ 2 L′
1
2
+ 1)
1
2 S
⎫
⎧ ⎫⎧
⎪⎬ ⎨Λ
λ L⎬
⎨Λ
λ
⎩
⎪⎭
S J j
⎭⎩
′ L ′
⎫
⎬
S J j
⎭
j ′ 1 j ′ 2 J
×〈〈NΛ, νλ|n1l1, n2l2, L〉〉〈〈NΛ, ν ′ λ ′ |n ′ 1l′ 1 , n′ 2l′ 2 , L′ 〉〉(−1) L+L′
{1 − (−1) λ+S+T }
×(2j + 1)(2S + 1)(2L + 1)(2L ′ + 1) 〈ν(λS)jT |H (2)
int |ν′ (λ ′ S)jT 〉 . (3.46)