Kernstruktur mit effektiven Dreiteilchenpotentialen - Technische ...
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4.1 · Berechnung der Matrixelemente<br />
Für die nachfolgenden Rechnungen werden nicht diese ungekoppelten Zustände<br />
verwendet, sondern Bahndrehimpuls und Spin werden zu einem Gesamtdrehimpuls j, m<br />
gekoppelt. Die Kopplung (oder Entkopplung) von Drehimpulsen erfolgt <strong>mit</strong> Hilfe der<br />
Clebsch-Gordan-Koeffizienten [7]:<br />
|ls, jm〉 = <br />
|lml, sms〉〈lml, sms|ls, jm〉<br />
mlms<br />
= <br />
mlms<br />
<br />
l s<br />
c<br />
ml ms<br />
<br />
<br />
<br />
j<br />
m<br />
<br />
|lml, sms〉 . (4.9)<br />
Da<strong>mit</strong> ergibt sich für die gekoppelten Matrixelemente der Dreiteilchenwechselwirkung:<br />
〈n1l1j1m1mt1, n2l2j2m2mt2, n3l3j3m3mt3|<br />
×V3|n4l4j4m4mt4, n5l5j5m5mt5, n6l6j6m6mt6〉<br />
= <br />
<br />
1<br />
l1 <br />
1<br />
l2 l3<br />
2<br />
c <br />
2<br />
c c<br />
ml1 ...ml6 ms1 ...ms6 <br />
l4<br />
×c<br />
1<br />
2<br />
ml ms <br />
4 4<br />
j4<br />
m4<br />
ml ms <br />
1 1<br />
j1<br />
m1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
l5<br />
c<br />
1<br />
2<br />
ml ms <br />
5 5<br />
j5<br />
m5<br />
ml ms <br />
2 2<br />
j2<br />
m2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
l6<br />
c<br />
1<br />
2<br />
ml ms <br />
6 6<br />
j6<br />
m6<br />
<br />
<br />
1<br />
2 <br />
ml ms <br />
3 3<br />
j3<br />
m3<br />
×〈n1l1ml1ms1mt1, n2l2ml2ms2mt2, n3l3ml3ms3mt3|<br />
×V3|n4l4ml4ms4mt4, n5l5ml5ms5mt5, n6l6ml6ms6mt6〉<br />
= <br />
<br />
1<br />
l1 <br />
1<br />
l2 <br />
1<br />
l3 <br />
2<br />
c <br />
2<br />
c <br />
2<br />
c <br />
ml1 ...ml6 ms1 ...ms6 <br />
l4<br />
×c<br />
×C3<br />
1<br />
2<br />
ml ms <br />
4 4<br />
j4<br />
m4<br />
<br />
ml ms <br />
1 1<br />
j1<br />
m1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
l5<br />
c<br />
1<br />
2<br />
ml ms <br />
5 5<br />
j5<br />
m5<br />
ml ms <br />
2 2<br />
j2<br />
m2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
l6<br />
c<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
ml ms <br />
6 6<br />
j6<br />
m6<br />
<br />
ml ms <br />
3 3<br />
j3<br />
m3<br />
dxx 2 Rn1l1(x)Rn2l2(x)Rn3l3(x)Rn4l4(x)Rn5l5(x)Rn6l6(x)<br />
× 1<br />
16π2 <br />
(2l1 + 1)(2l2 + 1)(2l3 + 1)(2l4 + 1)(2l5 + 1)(2l6 + 1)<br />
×<br />
1<br />
(2L2 + 1) c<br />
<br />
l1 l2 <br />
0 0 L1<br />
<br />
L1 l3<br />
c <br />
0 0 0 L2<br />
<br />
l4 l5<br />
c <br />
0 0 0 L3<br />
<br />
L3 l6<br />
c <br />
0 0 0<br />
L1L2L3 ML1 ML2ML3 <br />
l1 l2 L1<br />
×c<br />
ml 1 ml 2<br />
<br />
<br />
ML 1<br />
<br />
L1 l3<br />
c<br />
ML ml 1 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
L2<br />
ML 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
l4 l5<br />
c ml ml 4 5<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
L3<br />
ML 3<br />
<br />
<br />
<br />
L3 l6<br />
c<br />
ML ml 3 6<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
L2<br />
0<br />
×δms 1 ms 4 δms 2 ms 5 δms 3 ms 6 δmt 1 mt 4 δmt 2 mt 5 δmt 3 mt 6 . (4.10)<br />
Für die Berechnung der Matrixelemente ist es sinnvoll, möglichst viele dieser 18<br />
Summen direkt auszuwerten, um die Rechenzeit gering zu halten. Durch Anwendung<br />
L2<br />
ML 2<br />
<br />
<br />
47
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