Kernstruktur mit effektiven Dreiteilchenpotentialen - Technische ...

Kapitel 6 · Vielteilchenstörungstheorie
6.1 Grundlagen der Störungstheorie
Mit Hilfe der Störungstheorie können Probleme von der Form
H|Φi〉 = (H0 + W)|Φi〉 = Ei|Φi〉 (6.1)
näherungsweise gelöst werden, wobei die Eigenwerte E (0)
i und Eigenzustände |Ψ (0)
i 〉 des
Hamiltonoperators H0 bekannt sind [9]: H0|Ψ (0)
i 〉 = E(0) i |Ψ (0)
i 〉. Wenn die Störung W
hinreichend klein ist, so läßt sich ein Verfahren entwickeln, nach dem die Energien E (0)
i
und die Zustände |Ψ (0)
i 〉 Schritt für Schritt der gesuchten Lösung Ei beziehungsweise
|Φi〉 des Hamiltonoperators H angenähert werden. Zu diesem Zweck wird der formale
Entwicklungsparameter λ eingeführt, der später auf den Wert 1 gesetzt wird [9]:
H = H0 + λW . (6.2)
Damit können die exakten Eigenenergien und -zustände in eine Potenzreihe entwickelt
werden:
Ei = E (0)
i
|Φi〉 = |Ψ (0)
i
+ λE(1) i + λ2E (2)
i + . . . (6.3)
〉 + λ|Ψ(1) i 〉 + λ2 |Ψ (2)
〉 + . . . . (6.4)
Die Aufgabe besteht nun darin, die höheren Ordnungen der Eigenenergien E (n)
i durch
die Energien und Zustände der nullten Ordnung auszudrücken.
Es wird angenommen, daß die ungestörten Zustände normiert sind: 〈Ψ (0)
i |Ψ (0)
i 〉 = 1.
Darüber hinaus wird die Normierung des gesuchten Zustands so gewählt, daß gilt
〈Ψ (0)
i |Φi〉 = 1 [9]. Wird hier die Entwicklung des Zustandes |Φi〉 eingesetzt, so folgt
aus der Annahme, daß die Gleichung für beliebige λ erfüllt sein soll:
〈Ψ (0)
i |Ψ (n)
i
i
〉 = 0 für n ≥ 1 . (6.5)
Für die Schrödingergleichung ergibt sich nach Einsetzen der Taylorentwicklungen (6.3)
und (6.4):
(H0 + λW)(|Ψ (0)
i 〉 + λ|Ψ(1)
= (E (0)
i
+ λE(1) i + λ2E (2)
i
i 〉 + λ2 |Ψ (2)
i 〉 + . . .)
+ . . .)(|Ψ(0) i 〉 + λ|Ψ(1)
Diese Gleichung kann nach Potenzen in λ sortiert werden:
80
λ 0 : H0|Ψ (0)
i 〉 = E(0) i |Ψ (0)
i
λ 1 : H0|Ψ (1)
i
λ 2 : H0|Ψ (2)
i
.
〉 + W|Ψ(0) i 〉 = E(0)
〉 + W|Ψ(1) i 〉 = E(0)
i 〉 + λ2 |Ψ (2)
i 〉 + . . .) .(6.6)
〉 (6.7)
i |Ψ (1)
i
i |Ψ (2)
i
〉 + E(1)
〉 + E(1)
i |Ψ (0)
i
i |Ψ (1)
i
〉 (6.8)
〉 + E(2)
i |Ψ (0)
i
〉 (6.9)