Kernstruktur mit effektiven Dreiteilchenpotentialen - Technische ...

Kapitel 4 · Dreiteilchenwechselwirkung
4.1 Berechnung der Matrixelemente
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Matrixelemente der Dreiteilchenwechselwirkung
zu berechnen. Bei der sogenannten Talmi-Moshinsky-Transformation wird eine
Separation zwischen Schwerpunkt- und Relativanteil durchgeführt. Dadurch vereinfacht
sich die Berechnung der Matrixelemente, allerdings muß die aufwendige Transformation
zur Trennung der Koordinaten durchgeführt werden. Eine andere Möglichkeit ist, direkt
die Wellenfunktionen und die Wechselwirkung in Ortsdarstellung einzusetzen und die
Integrale zu berechnen. Dieser Weg ist für eine Kontaktwechselwirkung relativ einfach,
da die Eigenschaften der Deltadistribution ausgenutzt werden können.
Im folgenden werden die Matrixelemente in der Basis des harmonischen Oszillators
berechnet. Dabei werden die Spin- und Isospinanteile zunächst vernachlässigt.
Der Dreiteilchenzustand wird vorläufig als Produkt aus drei Einteilchenzuständen geschrieben.
Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators haben die Quantenzahlen n
(Hauptquantenzahl), l (Bahndrehimpuls) und ml (magnetische Quantenzahl). Damit
sehen die Matrixelemente in Ortsdarstellung folgendermaßen aus:
〈n1l1ml1| ⊗ 〈n2l2ml2| ⊗ 〈n3l3ml3|V3|n4l4ml4〉 ⊗ |n5l5ml5〉 ⊗ |n6l6ml6〉
= d 3 x1d 3 x2d 3 x3〈n1l1ml1|x1〉〈n2l2ml2|x2〉〈n3l3ml3|x3〉
×C3 δ (3) (x1 − x2) δ (3) (x1 − x3)〈x1|n4l4ml4〉〈x2|n5l5ml5〉〈x3|n6l6ml6〉.(4.2)
Wenn die Einteilchenkoordinaten x2 und x3 durch die Relativkoordinaten r12 = x1−x2
und r13 = x1 − x3 ersetzt werden, so können sofort die Eigenschaften der Deltadistribution
ausgenutzt werden:
d 3 x1d 3 x2d 3 x3〈n1l1ml1|x1〉〈n2l2ml2|x2〉〈n3l3ml3|x3〉
=
= C3
×C3 δ (3) (x1 − x2) δ (3) (x1 − x3)〈x1|n4l4ml4〉〈x2|n5l5ml5〉〈x3|n6l6ml6〉
d 3 x1d 3 r12d 3 r13〈n1l1ml1|x1〉〈n2l2ml2|x1 − r12〉〈n3l3ml3|x1 − r13〉
×C3 δ (3) (r12) δ (3) (r13)〈x1|n4l4ml4〉〈x1 − r12|n5l5ml5〉〈x1 − r13|n6l6ml6〉
d 3 x1〈n1l1ml1|x1〉〈n2l2ml2|x1〉〈n3l3ml3|x1〉
×〈x1|n4l4ml4〉〈x1|n5l5ml5〉〈x1|n6l6ml6〉 . (4.3)
Somit reduzieren sich die drei Raumintegrale auf ein Raumintegral.
Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators lauten in Ortsdarstellung [26]:
44
〈x|nlml〉 = Rnl(x)Ylml (Ω) . (4.4)