Kernstruktur mit effektiven Dreiteilchenpotentialen - Technische ...

4.1 · Berechnung der Matrixelemente
Die Rnl(x) sind reelle Funktionen, die den Radialteil der Wellenfunktion beschreiben,
und Ylml (Ω) bezeichnet den Winkelanteil, der durch die Kugelflächenfunktionen beschrieben
wird. Dabei wurden die beiden Winkel im Raumwinkel Ω zusammengefaßt.
Damit haben die Matrixelemente folgende Gestalt:
〈n1l1ml1| ⊗ 〈n2l2ml2| ⊗ 〈n3l3ml3|V3|n4l4ml4〉 ⊗ |n5l5ml5〉 ⊗ |n6l6ml6〉
= C3
×
dx1x 2 1 Rn1l1(x1)Rn2l2(x1)Rn3l3(x1)Rn4l4(x1)Rn5l5(x1)Rn6l6(x1)
dΩ Y ∗
l1ml (Ω)Y
1
∗
l2ml (Ω)Y
2
∗
l3ml (Ω)Yl4ml (Ω)Yl5ml (Ω)Yl6ml (Ω) . (4.5)
3 4 5 6
Das Raumwinkelintegral über die sechs Kugelflächenfunktionen kann analytisch
ausgewertet werden. Dazu wird folgende Beziehung benötigt, die jeweils drei Kugelflächenfunktionen
auf eine reduziert [27]:
Yl1ml 1 (Ω)Yl2ml 2 (Ω)Yl3ml 3 (Ω)
=
L1ML 1
=
L1ML 1
×
L2ML 2
(2l1 + 1)(2l2 + 1)
4π(2L1 + 1)
(2l1 + 1)(2l2 + 1)
4π(2L1 + 1)
c
c
(2L1 + 1)(2l3 + 1)
4π(2L2 + 1)
l1 l2
0 0 L1
0
l1 l2
0 0 L1
0
c
L1 l3
0 0 L2
0
l1 l2
c ml ml 1 2
l1 l2
c ml ml 1 2
L1
ML 1
L1
ML 1
L1 l3
c
ML ml 1 3
YL1ML 1 (Ω)Yl3ml 3 (Ω)
L2
ML 2
YL2ML 2 (Ω),(4.6)
l1 l2
dabei sind c
ml ml 1 2
L
die Clebsch-Gordan-Koeffizienten (vgl. Gleichung 4.9). Das
ML
bedeutet, daß die beiden Bahndrehimpulse l1, ml1 und l2, ml2 zu einem Drehimpuls
L1, ML1 gekoppelt werden. Dieser wird dann wiederum mit l3, ml3 zu L2, ML2 gekoppelt.
Somit lassen sich drei Kugelflächenfunktionen durch eine Funktion mit gekoppel-
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