Kernstruktur mit effektiven Dreiteilchenpotentialen - Technische ...

Kapitel 3 · Die Hartree-Fock-Methode
die Dreiteilchendichtematrix durch die Einteilchendichtematrix ausgedrückt werden:
̺ (2)
ā¯b,ab ̺ (3)
ā¯b¯c,abc = ̺(1) āa ̺ (1)
¯ − ̺ bb (1)
āb ̺(1) ¯ba = ̺(1) āa ̺ (1)
¯ ̺ bb (1)
¯cc + ̺ (1)
āc ̺ (1)
¯ ̺ ba (1)
¯cb + ̺(1)
āb ̺(1) ¯ ̺ bc (1)
¯ca
(3.22)
−̺ (1)
āa ̺ (1)
¯ ̺ bc (1)
¯cb − ̺(1)
āb ̺(1) ¯ ̺ ba (1)
¯cc − ̺ (1)
āc ̺ (1)
¯ ̺ bb (1)
¯ca . (3.23)
Damit läßt sich die Energie als Funktional der Einteilchendichtematrix schreiben:
E[̺ (1) ] =
∞
aā
taā ̺ (1)
āa + 1
2
∞
ab
ā ¯ b
V (2)
ab,ā¯b ̺(1) āa ̺ (1)
¯ + bb 1
6
∞
abc
ā ¯ b¯c
V (3)
abc,ā¯b¯c ̺(1) āa ̺ (1)
¯ ̺ bb (1)
¯cc . (3.24)
Die Variation des Energiefunktionals lautet unter Vernachlässigung der Terme, die
quadratisch in δ̺ (1) sind [7, 8]
δE[̺ (1) ] =
=
∞
aā
+ 1
2
+ 1
6
taā δ̺ (1)
āa
∞
ab
ā ¯ b
∞
abc
ā ¯ b¯c
∞
aā
V (2)
ab,ā¯b (δ̺(1) āa ̺ (1)
¯ + ̺ bb (1)
āa δ̺ (1)
¯ ) bb
V (3)
abc,ā¯b¯c (δ̺(1) āa ̺ (1)
¯ ̺ bb (1)
¯cc + ̺ (1)
āa δ̺ (1)
¯ ̺ bb (1)
¯cc + ̺ (1)
āa ̺ (1)
¯ δ̺ bb (1)
¯cc )
taā +
∞
b ¯ b
V (2)
ab,ā¯b ̺(1) ¯ + bb 1
2
∞
bc
¯ b¯c
V (3)
abc,ā¯b¯c ̺(1) ¯ ̺ bb (1)
¯cc δ̺ (1)
āa . (3.25)
Die Wechselwirkungsterme in diesem Ausdruck lassen sich formal mit dem eingangs
geforderten Einteilchenpotential, das von der Einteilchendichtematrix abhängt, identi-
fizieren:
Uaā[̺ (1) ] =
∞
b ¯ b
V (2)
ab,ā¯b ̺(1) ¯ + bb 1
2
∞
bc
¯ b¯c
V (3)
abc,ā¯b¯c ̺(1) ¯ ̺ bb (1)
¯cc . (3.26)
Zusammen mit diesem Potential ergeben sich die Matrixelemente des Einteilchenhamiltonoperators
haā[̺ (1) ] = taā + Uaā[̺ (1) ] . (3.27)
Die Variationsgleichung lautet dann
34
δE[̺ (1) ] =
∞
aā
haā[̺ (1) ]δ̺ (1)
āa = 0 . (3.28)