Kernstruktur mit effektiven Dreiteilchenpotentialen - Technische ...

3.2 · Das Hartree-Fock-Verfahren
Hamiltonoperators die Variation des Energiefunktionals δE[|Ψ〉] um den zugehörigen
Eigenzustand |Ψ〉 stationär ist. Für den Grundzustand besitzt E[|Ψ〉] ein absolutes
Minimum, für die angeregten Zustände sind es im allgemeinen Sattelpunkte [7, 8].
Bis zu diesem Punkt sind alle Gleichungen exakt. In der Praxis wird allerdings nicht
mit dem allgemeinsten Zustand |Ψ〉 variiert, sondern es werden mathematisch einfache
Versuchszustände verwendet. Sobald die exakte Lösung nicht mehr in der Menge der
Versuchszustände enthalten ist, liefert das Variationsverfahren eine genäherte Lösung.
Das Variationsverfahren ist insbesondere zur Approximation des Grundzustands geeignet.
Der Energieerwartungswert E[|Ψ〉] eines beliebigen Zustandes |Ψ〉 ist immer
größer oder gleich der exakten Grundzustandsenergie [6, 7, 8]:
E[|Ψ〉] ≥ E0 . (3.10)
Dies ist das Ritzsche Variationsverfahren. Es läßt sich leicht beweisen, wenn der Zustand
|Ψ〉 in der Eigenbasis {|n〉} des Hamiltonoperators entwickelt wird:
|Ψ〉 =
cn|n〉 mit H|n〉 = En|n〉 . (3.11)
Damit lautet der Energieerwartungswert
c
n,m
E[|Ψ〉] =
∗ ncm〈n|H|m〉
|cn| 2
|cn|
n
=
2En ≥
|cn| 2
n
n
n
n
|cn| 2 E0
|cn| 2 = E0 . (3.12)
Dabei wird vorausgesetzt, daß die Energieeigenwerte aufsteigend sortiert sind: E0 ≤
E1 ≤ E2 ≤ . . ..
Das bedeutet, daß zur Näherung des Grundzustands lediglich eine Minimierung
des Energieerwartungswertes unter Variation des Versuchszustandes durchgeführt werden
muß. Zusätzlich liefert der Satz von Ritz ein Kriterium dafür, welcher von zwei
Versuchszuständen den Grundzustand besser approximiert. Je niedriger der Energieerwartungswert
E[|Ψ〉] eines Zustandes ist, umso größer ist sein Überlapp mit dem
exakten Grundzustand.
3.2 Das Hartree-Fock-Verfahren
Bei der Hartree-Fock-Methode wird das Variationsverfahren auf ein System aus A
Fermionen angewendet [6, 7, 8]. Dabei wird der Versuchszustand durch eine einzelne
Slaterdeterminante
n
|Φ〉 = a †
1a† 2 . . .a† A |0〉 (3.13)
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