Kernstruktur mit effektiven Dreiteilchenpotentialen - Technische ...

Kapitel 5 · Kollektive Anregungen
Mit Hilfe dieser Operatoren läßt sich die Schrödingergleichung (5.1) in die Bewegungsgleichung
[H, Q † ν]|Ψ0〉 = (Eν − E0)Q † ν|Ψ0〉 (5.4)
umformen [6, 7, 8]. Wird diese Gleichung von links mit einem beliebigen Zustand
〈Ψ0|δQ multipliziert, so ergibt sich:
〈Ψ0|[δQ, [H, Q † ν ]]|Ψ0〉 = (Eν − E0)〈Ψ0|[δQ, Q † ν ]|Ψ0〉 . (5.5)
Dabei können auf beiden Seiten der Gleichung die Kommutatoren geschrieben werden,
weil 〈Ψ0|Q † ν = 〈Ψ0|HQ † ν = 0 gilt. Die Variation
δQ † |Ψ0〉 =
δcνQ † ν|Ψ0〉 =
δcν|Ψν〉 (5.6)
ν=0
ist beliebig, aber orthogonal zum Grundzustand. Daher ist Gleichung (5.5) exakt und
äquivalent zur Schrödingergleichung (5.1).
Einteilchen-Einloch-Anregungen des
Werden als Ansatz für die Operatoren Q † ν
Hartree-Fock-Zustandes verwendet, so führt dies auf die Gleichungen der Tamm-Dancoff-Methode
[6, 7, 8]. Bei der Random Phase Approximation werden die Q † ν folgendermaßen
dargestellt:
Q † ν
= X (ν)
mi a† mai −
mi
mi
ν=0
Y (ν)
mi a†
i am . (5.7)
Dabei bezeichnen die Indizes i, j Zustände unterhalb der Fermikante, also εi, εj ≤ εF,
und m, n bezeichnen Zustände oberhalb der Fermikante, εm, εn > εF, wobei sich sowohl
die Fermikante als auch die Einteilchenenergien εk auf den Hartree-Fock-Zustand
beziehen. Das bedeutet, daß die Operatoren a † m ai und a †
i am als Teilchen-Loch-Erzeuger
beziehungsweise -Vernichter interpretiert werden können.
Der Grundzustand der Random Phase Approximation ist durch Qν|RPA〉 = 0 definiert.
Dieser Zustand ist nicht gleich dem Hartree-Fock-Zustand, sondern enthält
zusätzlich Teilchen-Loch-Beimischungen.
Die Variation
δQ † |RPA〉 =
δX (ν)
mi a† mai|RPA〉 −
wird unabhängig für die Koeffizienten X (ν)
mi
mi
mi
und Y (ν)
mi
δY (ν)
mi a†
i am|RPA〉 (5.8)
durchgeführt. Daher erhält man
aus Gleichung (5.5) zwei gekoppelte Gleichungen, die sich für die beiden Fälle δX (ν)
mi =
0 beziehungsweise δY (ν)
mi
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= 0 ergeben:
〈RPA|[a †
iam, [H, Q † ν ]]|RPA〉 = ERPA ν 〈RPA|[a †
iam, Q † ν ]|RPA〉 (5.9)
〈RPA|[a † mai, [H, Q † ν ]]|RPA〉 = ERPA ν 〈RPA|[a † mai, Q † ν ]|RPA〉 (5.10)