Kernstruktur mit effektiven Dreiteilchenpotentialen - Technische ...

Kapitel 2 · Die Methode der unitären Korrelatoren
Campbell-Hausdorff-Beziehung
c †
Ω OcΩ = exp{igΩ} O exp{−igΩ} = O + i[gΩ, O] + i2
2! [gΩ, [gΩ, O]] + . . . (2.29)
verwendet werden [17, 19].
Die einzigen Operatoren, die nach der Transformation exakt in geschlossener Form
angegeben werden können, sind der Abstandsoperator r und der quadratische Relativimpuls
q2 r . Für alle anderen benötigten Operatoren liefert die Baker-Campbell-
Hausdorff-Entwicklung eine unendliche Reihe. Der Abstandsoperator r kommutiert mit
dem Generator gΩ, das bedeutet, daß r unter Tensorkorrelationen invariant ist:
c †
Ω rcΩ = r (2.30)
Für den quadratischen Relativimpuls q2 r bricht die Kommutatorentwicklung nach der
ersten Ordnung ab und liefert als Ergebnis
c †
Ω q2 rcΩ = q 2 r − [ϑ ′ (r)qr + qrϑ ′ (r)]s12(r,q Ω) + (ϑ ′ (r)s12(r,q Ω)) 2
= q 2 r − [ϑ ′ (r)qr + qrϑ ′ (r)]s12(r,q Ω) + 9ϑ ′ (r) 2 [s 2 + 3(l · s) + (l · s) 2 ] .
(2.31)
Bei den verbleibenden vier Operatoren muß die gesamte Baker-Campbell-Hausdorff-
Entwicklung ausgewertet werden. In der ersten Ordnung treten folgende Kommutatoren
auf [17, 19]:
Dabei wurde die Abkürzung
[gΩ,l 2 ] = iϑ(r)(2 ¯s12(q Ω,q Ω)) (2.32)
[gΩ, (l · s)] = iϑ(r)(−¯s12(q Ω,q Ω)) (2.33)
[gΩ, s12] = iϑ(r)(−24Π1 − 18(l · s) + 3s12) (2.34)
[gΩ, s12(l,l)] = iϑ(r)(7 ¯s12(q Ω,q Ω)) . (2.35)
¯s12(q Ω,q Ω) = 2r 2 s12(q Ω,q Ω) + s12(l,l) − 1
2 s12
(2.36)
eingeführt. Der Operator ¯s12(q Ω,q Ω) kommt in der ersten Ordnung der Entwicklung
neu hinzu. In der zweiten Ordnung muß dann der Kommutator [gΩ,¯s12(q Ω,q Ω)] berechnet
werden, der wiederum einen neuen Operator generiert und so weiter. Um eine
geschlossene Darstellung der tensorkorrelierten Operatoren zu erhalten, wird die Anzahl
der neu auftretenden Operatoren begrenzt. Für diese wird dann die gesamte Baker-
Campell-Hausdorff-Entwicklung berechnet [17].
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