Kernstruktur mit effektiven Dreiteilchenpotentialen - Technische ...

2.6 · Korrelierte Matrixelemente
Dabei beschreibt ˜v(r) = v(R+(r)) die korrelierte Radialabhängigkeit und unL(r) =
rϕnL(r) den Radialteil der Relativwellenfunktion. Für die diagonalen Matrixelemente
mit L = L ′ = J ∓ 1 ergibt sich
〈n(J ∓ 1, 1)JT |˜c †
= dr u ∗ nJ∓1 (r)un ′ J∓1(r) ˜v(r)
Ω c† rv(r)Ocr˜cΩ|n ′ (J ∓ 1, 1)JT 〉
×{cos 2˜ θJ(r) 〈(J ∓ 1, 1)JT |O|(J ∓ 1, 1)JT 〉
+ sin 2˜ θJ(r) 〈(J ± 1, 1)JT |O|(J ± 1, 1)JT 〉
± 2 cos ˜ θJ(r) sin ˜ θJ(r) 〈(J ∓ 1, 1)JT |O|(J ± 1, 1)JT 〉} .
(2.50)
Analog lassen sich die außerdiagonalen Matrixelemente mit L = J ∓1 und L ′ = J ±1
berechnen:
〈n(J ∓ 1, 1)JT |˜c †
Ωc† rv(r)Ocr˜cΩ|n ′ (J ± 1, 1)JT 〉
= dr u ∗ nJ∓1 (r)un ′ J±1(r) ˜v(r)
×{cos 2˜ θJ(r) 〈(J ∓ 1, 1)JT |O|(J ± 1, 1)JT 〉
− sin 2˜ θJ(r) 〈(J ± 1, 1)JT |O|(J ∓ 1, 1)JT 〉
∓ cos ˜ θJ(r) sin ˜ θJ(r) 〈(J ∓ 1, 1)JT |O|(J ∓ 1, 1)JT 〉
± sin ˜ θJ(r) cos ˜ θJ(r) 〈(J ± 1, 1)JT |O|(J ± 1, 1)JT 〉} .
(2.51)
Das bedeutet, daß einerseits die Integrale über die Radialwellenfunktionen und andererseits
die Matrixelemente der Operatoren O mit den Drehimpulszuständen berechnet
werden müssen. Dabei stellt sich heraus, daß die außerdiagonalen Matrixelemente auf
der rechten Seite der Gleichungen (2.50) und (2.51) nur für den Standardtensoroperator
O = s12 Beiträge liefern [19].
Für den Radialteil des Relativimpulses kann die gesamte unitäre Transformation
auf den Operator angewendet und exakt ausgewertet werden. Als erstes wirkt der
Tensorkorrelator auf den Operator [19]:
c †
Ω v(r)q2 r cΩ = v(r)q 2 r − v(r)[ϑ′ (r)qr + qrϑ ′ (r)]s12(r,q Ω) + v(r)[ϑ ′ (r)s12(r,q Ω)] 2 .
(2.52)
Anschließend wird der Zentralkorrelator angewendet und führt auf folgende diagonale
Matrixelemente mit L = L ′ = J:
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