Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Seite 10
1.1. Dynamische Systeme
Dies ist ein autonomes Differentialgleichungssystem erster Ordnung. Es ist insofern
allgemein gültig, als das jedes System gewöhnlicher Differentialgleichungen höherer
Ordnung durch Einführung zusätzlicher Variablen in ein System erster Ordnung
überführt werden kann. Ebenso kann jedes nichtautonome System durch Einführung
einer zusätzlichen Variablen x d+1 = t und der trivialen Differentialgleichung ẋ d+1 = 1
auf ein System autonomer Differentialgleichungen transformiert werden. Eine Trajektorie
der Form (1.4) ist Lösung dieses DGL-Systems. Diese Darstellung ist aus
der klassischen Mechanik vertraut, wo der Zustandsraum M = R d durch die verallgemeinerten
Koordinaten und Impulse eines idealisierten Massepunktes aufgespannt
wird, dessen zeitliche Entwicklung ebenfalls durch die Lösung eines autonomen DGL-
Systems erster Ordnung gegeben ist (Hamiltonsche harmonische Gleichungen).
Im Falle stetig differenzierbarer Vektorfelder 1 ist die Lösung des autonomen Systems
durch die Anfangswerte eindeutig bestimmt. Daher stellt (1.5) tatsächlich ein
dynamisches System dar, selbst wenn das Vektorfeld lokal begrenzt ist (vgl. [19]).
Den Fluss Φ erhält man durch Integration der Differentialgleichungen über die Zeit
t. Daraus folgt, dass ein so definierter Fluss immer invertierbar ist, denn die Integration
kann natürlich in beide Zeitrichtungen erfolgen.
Im Falle von zeitdiskreten Systemen wird das dynamische System durch eine Differenzengleichung
x n = f(x n−1 ) (1.6)
beschrieben. Hierbei ist x n der Zustand des Systems zu einer diskreten Zeit n ∈ Z.
Die zeitliche Entwicklung ist auch hier durch den Anfangswert eindeutig bestimmt,
weshalb auch (1.6) ein dynamisches System ist, wobei hier der Fluss durch die Abbildung
selbst gegeben ist.
1.1.1 Lyapunov Exponenten
Es werden zwei Trajektorien im Phasenraum mit Anfangswerten x 0 und x 0 +δx 0 betrachtet,
wobei die Differenz der Anfangswerte δx 0 eine infinitesimal kleine Störung
ist. Ist das System in Richtung dieser Störung sensitiv gegenüber den Anfangsbedingungen,
so vergrößert sich der Betrag der Störung exponentiell mit der Zeit. Dieses
exponentielle Wachstum wird durch die Lyapunov-Exponenten charakterisiert, die
somit eine quantitative Beschreibung des chaotischen Verhaltens liefern.
1 Diese Bedingung kann noch auf die sog. Lipschitz-Bedingung reduziert werden, die eine
schwächere Voraussetzung ist als die stetige Differenzierbarkeit.