Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

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1.1. Dynamische Systeme
Matrix Q eine neue orthogonale Basis für den nächsten Iterationsschritt erhält. Man
erhält also folgendes Schema:
Q 0 = I ↦−→ U0
P 0 ↦−→ Q 1 R 0
Q 1
U 1
↦−→ P 1 ↦−→ Q 2 R 1
usw.
(1.20)
Die Iterationsvorschrift lautet somit
Q j R j−1 = U j−1 Q j−1 , j = 1, . . . , d (1.21)
und wird nach Eckmann und Ruelle auch als Treppen-Iteration Algorithmus bezeichnet
[13]. Die Diagonalelemente ergeben sich multiplikativ aus den diskreten
Schritten
n−1
∏
R ii = R j ii . (1.22)
j=0
Somit setzt sich auch die Ausdehnungsrate der Tangentialvektoren aus den diskreten
Schritten zusammen. Mit (1.19) ergibt sich somit für den i-ten Lyapunov-
Exponenten
1 ∑n−1
λ i = lim ln(R j ii n→∞ n ∆t
) . (1.23)
j=0
1.1.3 Attraktoren
Bei den durch (1.4) definierten Trajektorien interessiert man sich besonders für das
asymptotisches Verhalten für t → ∞. In konservativen dynamischen Systemen, wie
sie z.B. in der Newtonschen Mechanik bei Vernachlässigung der Reibung betrachtet
werden, bleibt das Volumen einer Menge von Punkten im Phasenraums in der zeitlichen
Entwicklung dieser Punkte erhalten, d.h. es ist invariant gegenüber dem Fluss
(1.1). In dissipativen Systemen bleibt das Volumen nicht erhalten, sondern verringert
sich unter Einwirkung des Flusses. Mathematisch bedeutet dies, dass ausgehend von
(1.5) die Divergenz des Vektorfeldes F kleiner Null ist:
∇ · F < 0 . (1.24)