Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 3. Lokal polynomiale Modellierung Seite 71
risiert ist durch einen zentralen Punkt c und dem minimalen Radius R, der nötig
ist, um alle Punkte des Clusters zu überdecken. Beim Übergang von einer Ebene
des Suchbaumes zur nächsten wird jeder Cluster in zwei Subcluster geteilt, die die
Söhne der jeweiligen Knoten bilden.
Die Teilung eines Clusters erfolgt hierbei nach folgenden Schema: Suche zunächst
den Punkt c r mit maximalem Abstand zum zentralen Punkt c (ist der aktuelle
Knoten die Wurzel, so wähle einen zufälligen Punkt als zentralen Punkt). Anschließend
suche den Punkt c l mit maximalem Abstand zu c r . Diese Punkte c l und c r
bilden die zentralen Punkte des linken bzw. rechten Sohnes. Alle weiteren Punkte
des momentanen Clusters werden nun dem linken oder rechten Sohn zugesprochen,
je nachdem ob sie näher an c l oder näher an c r liegen. Für die beiden Subcluster
muss anschließend der minimale Radius R berechnet werden. Die Aufteilung der
Knoten wird fortgesetzt, bis die Anzahl der Punkte in einem Cluster eine minimale
Punktzahl L unterschreitet. Diese Cluster sind dann die terminalen Knoten des
Suchbaums. Für diese terminalen Knoten werden alle Distanzen der Punkten zum
zentralen Punkt berechnet und gespeichert.
Für die Suche nach nächsten Nachbarn wird wieder eine nach den Distanzen sortierte
Liste D = (d 1 , . . . , d m = d max ) eingeführt, die die Distanzen der bislang besten m
nächsten Nachbarn speichert. Es wird nun wie beim vorherigen Algorithmus der
Suchbaum rekursiv durchlaufen. Ein Cluster i wird ausgeschlossen, falls gilt
d max < ˆd min (i) , (3.44)
wobei ˆd min eine untere Schranke für die Distanz vom Anfragepunkt zu einem beliebigen
Punkt des Clusters ist. Dieser Wert kann nicht exakt berechnet werden, aber
es ist möglich, zumindest drei verschiedene untere Schranken für ˆd min zu erhalten,
wobei der Cluster-Radius R, der Abstand zwischen Cluster i und seinem Bruderknoten,
sowie die Tatsache ausgenutzt wird, dass ˆd min nicht kleiner sein kann als der
Wert des Vaterknotens (für Details siehe [26]). Das Maximum dieser drei Werte wird
in (3.44) eingesetzt. Trifft man auf einen terminalen Knoten, so werden alle Punkte
x ausgeschlossen für die gilt
d max < ‖d(c i , q) − d(c i , x)‖ . (3.45)
Die hierfür nötigen Distanzen d(c i , x) wurden bereits während des Präprozessings
berechnet. Der ATRIA kann ebenfalls durch Verwendung des Partial Distance Search
beschleunigt werden. Die Laufzeit hängt wesentlich von der Dimension der Punktmenge
ab und ist meist niedriger als bei Algorithmen auf Basis von k-d-Bäumen
[26]. Zudem hat der ATRIA den Vorteil, mit beliebigen Metriken arbeiten zu
können. So können durch Verwendung von sog. Kernfunktionen, die in Abschnitt
4.1.2 noch näher besprochen werden, auch nächste Nachbarn in hochdimensionalen