Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 5. Anwendungen der Modelle Seite 93
Als Ergebnis erhält man, dass alle Modelle hier klar an ihre Grenzen stoßen. Die
Dimension wird nun deutlich größer gewählt als beim HR-Modell, was angesichts
der breiteren Spikes auch nicht verwundert. Als Beispiel sind zwei typische Langzeit-
Vorhersagen des lokal linearen Modells gezeigt. Es versagt komplett, wenn der Anfragepunkt
in einem der großen Aussetzer liegt (Abbildung 5.3(a)), kann aber zumindest
den Verlauf eines Spikes annähernd modellieren (Abbildung 5.3(b)). Da in
dieser Zeitreihe jedoch weit mehr Aussetzer zu finden sind als beim HR-Modell, ist
der Fehler insgesamt sehr groß.
−0.64
−0.66
−0.68
−0.7
−0.64
−0.66
−0.68
−0.72
−0.74
−0.76
−0.7
−0.72
−0.78
0 100 200 300 400 500
(a)
−0.74
0 100 200 300 400 500
Abbildung 5.3: Zwei Beispiele für Vorhersagen des gemessenen Neuron-Datensatzes
(durchgezogene Linie = Original, gestrichelte Linie = Modell)
(b)
5.3 Lyapunov-Exponenten
Berechnet man ein lokal lineares Modell an einem bestimmten Punkt x 0 , so kann
mit dem Koeffizientenvektor ν aus (3.15) direkt die Jacobi-Matrix an diesem Punkt
bestimmt werden. Man erhält somit die Lyapunov-Exponenten, indem man für eine
genügend lange Trajektorie des Datensatzes für jeden Punkt ein lokal lineares Modell
berechnet und die Jacobi-Matrix bestimmt. Über die Iterationsvorschrift (1.21) und
die Formel (1.23) lassen sich dann die Lyapunov-Exponenten berechnen.
5.3.1 Ergebnisse für Lyapunov-Exponenten
Zunächst sollen mit den in Abschnitt 5.1.1 erhaltenen Modellen die Lyapunov-
Exponenten von Hénon-Abbildung, Lorenz- und Baier-Sahle-System bestimmt werden.
Für die Literaturwerte wurde für das Hénon-System auf [31] zurückgegriffen,