Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

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3.6. Approximation durch Gitterpunkte
Die Menge G der sich ergebenden Gitterpunkte wird durch die Parameter g und
m gesteuert. Hierbei steuert g nur die Feinheit des Gitters, während m bestimmt,
welche Punkte tatsächlich verwendet werden; im Folgenden wurde m = 1 verwendet.
Um möglichst viel Information von den Trainingspunkten in die Gitterpunkte zu
übertragen, wurde folgender Ansatz gewählt: Zunächst wird mit einer LOO-CV der
globale optimale Wert für die Zahl nächster Nachbarn beim lokal linearen Modell
bestimmt. Anschließend wird mit diesem Modell ein Schätzer für die Gitterpunkte
berechnet, aber anstelle des skalaren Schätzers wird der gesamte Koeffizientenvektor
ν aus (3.15) gespeichert, d.h. bei dem hier betrachteten zweidimensionalen System
ist mit jedem Gitterpunkt ein 3-dimensionaler Vektor assoziiert.
Um später mit den Gitterpunkten die Modellausgabe für einen Anfragepunkt zu
berechnen, werden die Koeffizientenvektoren von den drei 3 nächstliegenden Gitterpunkten
gemittelt und mit diesem der Schätzer berechnet. Ein Nebeneffekt dieser
Form von Modellierung ist, dass keine Singulärwertzerlegung mehr nötig ist und
somit die Rechenzeit verkürzt wird.
Aus der nun gegebenen Menge G von Gitterpunkten sollen jetzt die maßgeblichen
für die Modellierung ermittelt werden:
1. Entnehme zunächst drei zufällige Gitterpunkte aus G, die möglichst maximale
Distanz zueinander besitzen. Diese bilden die ersten drei Punkte der Menge
der endgültigen Gitterpunkte K, die später als Datensatz für die Modellierung
dient.
2. Nimm einen weiteren Punkt aus G testweise in K hinzu und berechne den
Fehler bei der Vorhersage der Trainingspunkte anhand dieser Punkte. Führe
dies für alle weiteren Gitterpunkte aus G durch.
3. Wähle aus G den Punkt, der den kleinsten Trainingsfehler ergibt und füge
diesen endgültig der Menge der Gitterpunkte K hinzu.
4. Bestimme den Fehler bei der Vorhersage der Testmenge anhand der Gitterpunkte
K.
5. Falls noch weitere Punkte in G existieren, starte wieder bei 2.
Betrachtet wird zunächst eine eingebettete Zeitreihe eines Hénon-Systems, welche
relativ stark mit weißem Rauschen überlagert ist (Signal-Rausch-Abstand beträgt
20dB). In Abbildung 3.9(a) sind als Beispiel die ersten 30 Gitterpunkte gezeigt.
3 Es werden gerade drei Gitterpunkte genommen, weil der Einbettungsraum in diesem Fall
zweidimensional ist; im allgemeinen Fall würde man k = d + 1, also Dimension plus Eins wählen.