Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

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3.10. Suche nach nächsten Nachbarn
k-d-Bäume
Der k-d-Baum ist eine Datenstruktur, die als Verallgemeinerung des binären Suchbaums
1975 von Bentley eingeführt wurde (siehe [6]); die Abkürzung “k-d” ist
hierbei als “k-dimensional” zu verstehen 5 .
Ein k-d-Baum ist zunächst einmal ein binärer Suchbaum: zu jedem Knoten P existieren
maximal zwei Söhne; diese sind als Pointer LS(P ) und RS(P ) im Knoten
von P gespeichert. Hierbei sind diese Pointer so zu verstehen, dass sie den gesamten
Teilbaum links bzw. rechts des Knotens P repräsentieren. Im Gegensatz zum
normalen binären Suchbaum, wo jeder Knoten genau einen Schlüssel trägt, trägt
beim k-d-Baum jeder Knoten k verschiedene Schlüssel K 0 (P ), . . . , K k−1 (P ). Weiterhin
trägt jeder Knoten eine ganzzahlige Dimensionsangabe D(P ) zwischen 0 und
k − 1, den sog. Diskriminator. Die Anordnung der Knoten erfüllt nun folgende Regel:
Sei j = D(P ) der Diskriminator eines Knotens P im k-d-Baum, dann gilt für
alle Knoten U im Teilbaum LS(P ), dass K j (U) < K j (P ) und für alle Knoten V im
Teilbaum RS(P ) gilt K j (V ) > K j (P ). Sollten zwei Schlüssel gleich sein, werden die
restlichen Schlüssel als Vergleichsobjekte herangezogen (für Details siehe [6]).
Für die Anwendung der Suche nach nächsten Nachbarn sind die Schlüssel eines
Knotens K 0 (P ), . . . , K k−1 (P ) Komponenten eines k-dimensionalen Vektors; jeder
Knoten im k-d-Baum trägt somit einen Punkt x ∈ R k . Alle Punkte aus Knoten U
im Teilbaum LS(P ) sind somit bezüglich der Komponente j = D(P ) kleiner als P .
In Abbildung 3.11 ist dies für den Fall des 2-d-Baumes gezeigt, einmal in räumlicherund
einmal in Graph-Darstellung. Der Knoten A ist die Wurzel des Baumes, für seine
Söhne gelte die x-Komponenten als Vergleichskriterium: Alle Knoten im linken
Teilbaum von A (also B,D,E und G) liegen links von A, die anderen rechts. Ausgehend
von den Söhnen von A, nämlich B und C, gilt nun die y-Komponente als
Vergleichskriterium: alle Knoten im linken Teilbaum von B liegen unterhalb, der
Knoten E im rechten Teilbaum oberhalb. Analog verhält es sich beim Knoten C,
wo der Knoten F im rechten Teilbaum liegt und somit oberhalb von C.
Der eigentliche Trick liegt somit darin, dass mit jedem Knoten nicht nur ein Punkt,
sondern auch gleichzeitig ein k-dimensionaler Quader des Raumes verknüpft ist,
dessen Kanten durch die Vorgängerknoten bestimmt wird. Jeder nicht-terminale
Knoten eines k-d-Baumes ist somit Wurzel eines Teilbaumes, der alle Punkte eines
bestimmten Quaders enthält; die Wurzel des Baumes umfasst als einziger Knoten
den gesamten Raum. Der k-d-Baum liefert somit eine hierarchische räumliche Aufteilung
der Punkte. In der Praxis ist es aus Gründen der Laufzeit sinnvoll, eine
minimale Anzahl L an Punkten vorzugeben, ab der keine Aufteilung mehr vorgenommen
werden soll. Diese Punktmengen mit einer Punktzahl kleiner als L laden
in den terminalen Knoten des Baumes; sie werden meist als Buckets bezeichnet.
5 Um dem Begriff “k-d-Baum” Genüge zu tun, wird in diesem Abschnitt die bisherige Notation
fallengelassen, die mit d die Dimension und mit k die Zahl nächster Nachbarn bezeichnet.