Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 3
Lokal polynomiale Modellierung
Gegeben sei ein Datensatz Ω = {(x 1 , y 1 ), . . . , (x n , y n )} bestehend aus den vektoriellen
Eingabewerten x i und den jeweiligen skalaren Ausgabewerten y i . Gesucht ist nun
ein Schätzer für die skalare Ausgabe eines Anfragepunktes q, welcher häufig auch
als Query bezeichnet wird. Gesucht ist somit eine Schätzung f(x) für die Regression
m(x) = E(Y | X = x).
Bei der lokal polynomialen Modellierung besteht der Ansatz in einer Taylor-Entwicklung
in der Umgebung des Punktes q bis zu einem vorgegebenen Grad p
m(x) ≈ m(q) + m ′ (q)(x − q) + 1 2 m′′ (q)(x − q) 2 + . . . + m(p) (q)
(x − q) p
p!
≡ ν 0 (q) + ν 1 (q) · (x − q) + ν 2 (q) · (x − q) 2 + . . . + ν p (q) · (x − q) p .
(3.1)
Die Koeffizienten werden über die übliche Methode der kleinsten Quadrate bestimmt,
d.h. die Summe der quadratischen Abweichungen zwischen Modell und bekannten
Datenpunkten
P (ν) =
n∑ p∑
{y i − ν j (x i − q) j } 2 K h (x i − q) (3.2)
i=1 j=0
ist zu minimieren. Die Funktion K h ist eine sog. Kernfunktion, die jeden Punkt
in Abhängigkeit von seinem Abstand zum Anfragepunkt wichtet und von keinen
anderen Größen abhängt. Der Parameter h der Kernfunktion wird als Bandbreite
bezeichnet und legt die Größe der lokalen Nachbarschaft fest. Die Kernfunktion
macht das Modell somit überhaupt erst lokal und durch den Bandbreite-Parameter
wird der Grad der Lokalität gesteuert.
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