Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

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5.3. Lyapunov-Exponenten
für das Lorenz-System auf [37]. Für das Baier-Sahle-System wurde auf eine Methode
zurückgegriffen, die die Exponenten aus den linearisierten Differentialgleichungen
bestimmt und damit sehr gute Ergebnisse erzielen kann. Die Exponenten wurden bei
der Hénon-Abbildung und dem Lorenz-System mit dem Logarithmus zur natürlichen
Basis e berechnet, beim Baier-Sahle-System wurde die Basis 2 verwendet.
System Lyapunov Exponenten Lyapunov Exponenten
(Literatur) (über lok. lineares Modell)
Hénon-Abbildung 0.417 ± 0.006 0.413
(a=1.4,b=0.3) −1.58 ± 0.006 -1.551
Lorenz-System 0.906 0.89
(σ = −10, b = 8/3 0.00 -0.06
r = 28) -14.572 -
Baier-Sahle-System 0.116 0.089
(M = 5, a = 28, b = 4, 0.087 0.065
d = 2, ε = 0.1) 0.023 0.027
0.00 -0.027
-10.548 -
Bis auf das Hénon-System konnten mit der beschriebenen Methode keine guten
Werte für die negativen Exponenten bestimmt werden, weshalb sie hier erst gar
nicht angegeben wurden. Für die Hénon-Abbildung und das Lorenz-System ergibt
sich eine gute Übereinstimmung, nur die Exponenten für das Baier-Sahle-System
sind mit einer Ausnahme deutlich zu klein. Es soll daher noch einmal im Detail
betrachtet werden.
Baier-Sahle-System
Mit der zyklischen Optimierung aus Abschnitt 3.8 erhält man einen Satz an Parametern,
der eine gute Vorhersage über p Schritte erlaubt. Dem Parameter p wurde
bislang wenig Aufmerksamkeit geschenkt, da er vom Benutzer je nach Wunsch
gewählt werden kann, je nachdem ob man mehr an kurzfristigen oder längerfristigen
Vorhersagen interessiert ist. Wie soll p jedoch für die Berechnung von Lyapunov-
Exponenten gewählt werden Könnte man z.B. beim Baier-Sahle-System durch eine
andere Wahl von p bessere Werte erhalten
Für das Baier-Sahle-System wurden sechs lokal lineare Modelle mit Schrittweiten
p = 5, 10, 20, 30, 40 ermittelt. Mit jedem dieser Modelle wurden die vier größten
Lyapunov-Exponenten berechnet. Das Ergebnis ist in Abbildung 5.4 zu sehen. Die
gepunkteten Linien geben die genauen Werte an, wobei drei positive und der Null-
Exponent existieren. Als Trend lässt sich mit Ausnahme des dritten Exponenten
erkennen, dass die Exponenten mit wachsender Schrittweite abnehmen. Die Exponenten
bei p = 5 liegen insgesamt am dichtesten an den exakten Werten.