Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 2. Lokale Modelle Seite 23
2.1.1 Lokale Modelle
Grundlegendes Prinzip lokaler Modelle ist, dass zur Modellierung nur eine gewisse
Umgebung (Nachbarschaft) eines Anfragepunktes q verwendet wird, während die
restlichen Punkte des Datensatzes unberücksichtigt bleiben. Diese Nachbarschaft
kann z.B. eine ε-Umgebung U ε (q) sein, aber auch eine bestimmte Anzahl k von
Punkten (fixed mass) x nn(1) , . . . , x nn(k) , die bezüglich einer Metrik ‖ · ‖ die geringste
Distanz zu q haben (nächste Nachbarn), wobei nn(1), . . . , nn(k) die Indizes dieser
Punkte im Datensatz seien. In dieser Umgebung des Anfragepunktes findet die eigentliche
Berechnung eines Modells statt, z.B. in Form einer linearen Regression oder
noch einfacher durch Bildung eines gewichteten Mittelwerts der Bilder der nächsten
Nachbarn. Voraussetzung ist, dass die Umgebung so klein gewählt wird, dass
sich die zeitliche Entwicklung der nächsten Nachbarn von der gesuchten zeitlichen
Entwicklung des Anfragepunktes nicht wesentlich unterscheidet. Ausschlaggebend
hierfür sind die Nachbarn, die in Richtungen mit positiven Lyapunov-Exponenten
liegen, da deren Trajektorien sich in der zeitlichen Entwicklung exponentiell vom
Anfragepunkt entfernen.
Lokale Modelle fallen unter die Klasse der nichtparametrischen Regression, da sie an
die Gesamtheit des Datensatzes Ω keine funktionale Form voraussetzen. In den Umgebungen
der Anfragepunkte wird aber meist eine einfache parametrische Regression
durchgeführt.
Im Gegensatz hierzu stehen parametrische globale Modelle, wo stets der gesamte
Datensatz zur Berechnung einer parametrischen Regression herangezogen wird. Sie
versuchen somit, den gesamten Datensatz durch einen geschlossenen funktionalen
Ausdruck zu beschreiben, während lokale Modelle dies nur für gewisse Umgebungen
von Punkten des Datensatzes tun. Um den gesamten Datensatz zu beschreiben ist
somit eine Vielzahl von unabhängigen lokalen Modellen nötig.
Eine wichtige Konsequenz des lokalen Ansatzes ist, dass die Berechnung des Modells
erst dann stattfindet, wenn ein konkreter Anfragepunkt vorliegt, für den eine
Schätzung der Ausgabe berechnet werden soll 1 . Somit werden nur die Bereiche
des gegebenen Datensatzes modelliert, die Umgebungen von Anfragepunkten sind -
alle anderen Punkte sind für die lokale Modellbildung ohne Bedeutung. Es ist sofort
einleuchtend, dass die Eigenschaften des Modells wesentlich von der Größe der
gewählten Umgebung abhängen. Kleine Umgebungen führen zu einem sehr variablen
Modell, im Extremfall zur Interpolation der Datenpunkte. Große Umgebungen
hingegen führen im Extremfall zu einem globalen Modell (siehe Abschnitt 3.3.1).
Ohne die Kenntnis eines Anfragepunktes ist somit die Berechnung eines lokalen Modells
nicht möglich. Die einzigen Berechnungen, die vor den eigentlichen Anfragen
1 Man findet in der Literatur hierfür auch manchmal den aus der Lerntheorie entnommenen
Begriff “Lazy Learning”.