Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 3. Lokal polynomiale Modellierung Seite 45
4
3.5
3
DM
2.5
2
1.5
1
1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
Jahr
Abbildung 3.3: Modellierung der DM/US-Dollar Zeitreihe mit k = 5 und biquadratischer
Wichtung
3.3.3 Metrik
Die Metrik ist entscheidend bei der Suche nach nächsten Nachbarn und somit auch
ein wesentlicher Parameter für die lokale Modellbildung. Zunächst ist natürlich jede
L p -Metrik
( d∑
) 1/p
d(x, q) = (x i − q i ) p (3.18)
i=1
möglich, mit Abstand am populärsten natürlich die euklidische Metrik mit p = 2.
Gerade für die Vorhersage von Zeitreihen ist eine Abwandlung dieser Metrik sinnvoll,
die sog. exponentiell gewichtete euklidische Metrik
d exp (x, q) =
( d∑
i=1
λ i−1 (x i − q i ) 2 ) 1/2
. (3.19)
Im Falle von Delay-Vektoren x t , q t ergibt sich
( d∑
) 1/2
d exp (x t , q t ) = λ i−1 (x t−iτ − q t−iτ ) 2 , (3.20)
i=1