Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

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3.11. Vergleich lokaler Modelle mit globalen Modellen
rung ausgehend von einem einzigen Punkt. Besser wäre ein Fehlermaß, welches die
Vorhersagequalität über den gesamten Datensatz bewertet, wie z.B. der mittlere
Vorhersagehorizont oder der in dieser Arbeit verwendet NMSE. Letzterer basiert
aber auf der LOO-CV und kann mit globalen Modellen praktisch nicht berechnet
werden. Zudem müsste bei beiden Fehlermaßen der Wettbewerb “unter Aufsicht”
stattfinden, da die zu modellierenden Punkte innerhalb des Datensatzes natürlich
bekannt sind.
Vorsichtig formuliert kann man aber sagen, dass in der Regel lokale Modelle wenigstens
ebenso gute Ergebnisse erzielen können wie globale Modelle.
Geschlossenheit und physikalische Interpretation
Gerade Physiker stehen lokalen Modellen häufig skeptisch gegenüber, weil diese kein
geschlossenes Modell für den gesamten Datensatz geben können und somit anhand
des Modells auch keine Rückschlüsse auf den zugrunde liegenden physikalischen
Prozess liefern können. Allerdings muss bezweifelt werden, inwieweit die kompakten
und geschlossenen globalen Modelle tatsächlich “physikalische Realität” wiedergeben.
Zwar kann z.B. mit einem einfachen globalen polynomialen Modell die
Hénon-Abbildung anhand einer (unverrauschten) Zeitreihe exakt rekonstruiert werden,
allerdings ist dies ein konstruiertes Beispiel. Selbst wenn man in der Lage wäre,
mit einer Messung eine ideale unverrauschte Zeitreihen zu erhalten, hat man es üblicherweise
mit Systemen zu tun, die mit Polynomen oder radialen Basisfunktionen
immer nur approximiert, aber nicht exakt beschrieben werden können. Hier liefert
ein geschlossenes globales Modell somit ebensowenig physikalisch verwertbare Informationen
wie ein lokales Modell, auch wenn die geschlossene Darstellung dies
suggerieren mag.
Mit der physikalischen Interpretation verknüpft ist die Frage nach der Verallgemeinerungsfähigkeit
des Modells: Inwieweit können Aussagen über Anfragepunkte
gestellt werden, die von den Trainingspunkten weit entfernt liegen
Beim lokalen Ansatz gilt: “Wo keine Datenpunkte, da auch kein gültiges Modell”.
Das Verhalten lokaler Modelle weit außerhalb von Trainingspunkten hängt vom verwendeten
Modelltyp ab: Während lokal konstante Modelle immer durch den Wertebereich
der nächsten Nachbarn beschränkt sind und daher außerhalb von Trainingspunkten
konstante Werte im Intervall der Ausgabe der nächsten Nachbarn liefern,
neigen Modelle höheren Grades dazu, sehr schnell zu divergieren, falls diese nicht
passend regularisiert werden. Daher ist in Bereichen außerhalb von Trainingspunkten
prinzipiell das lokal konstante Modell vorzuziehen, allerdings liefert bei guter
Regularisierung auch das lokal lineare Modell ähnliche Werte. Beide Modelle liefern
jedoch keine gültigen Aussagen mehr, da bei den Anfragepunkten schlicht keine
Informationen zur Modellierung vorliegen.