Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

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1.1. Dynamische Systeme
wobei q ∈ R frei gewählt werden kann. Es gibt somit unendlich viele generalisierte
Dimensionen, wobei D q ≤ D p für q ≥ p gilt. Für q = 0 ergibt sich die Box-Counting-
Dimension, für q → 1 ergibt sich mit der Regel von L’Hôspital die Informationsdimension.
Es sei noch erwähnt, dass sich für q = 2 die Dimension D 2 ergibt, die
durch die sog. Korrelationsdimension approximiert werden kann. Diese beschreibt
die räumliche Korrelation von Punktepaaren auf dem Attraktor (für Details siehe
z.B. [1]). Sie ist in der Praxis besonders beliebt, da sie sich recht einfach berechnen
lässt.
1.1.5 Rekonstruktion des Attraktors
Der bisher vorgestellte mathematische Formalismus operiert ausschließlich im Phasenraum,
der jedoch im Experiment nicht explizit erfasst werden kann. Es stellt sich
daher die Frage, inwieweit man überhaupt in der Lage ist, auf Basis von Messungen
Größen wie Lyapunov-Exponenten oder die Dimension eines Attraktors zu bestimmen.
Um diese zu berechnen benötigt man eine Abbildung, die das Langzeitverhalten
der Dynamik im Phasenraum rekonstruiert.
Es werden zunächst kontinuierliche Flüsse der Form (1.5) betrachtet, wobei die Dynamik
innerhalb einer Mannigfaltigkeit S ⊂ R k mit Dimension d < k verläuft.
Werden zu einem bestimmten Zeitpunkt an dem System n unabhängige Messungen
u 1 , . . . , u n gleichzeitig vorgenommen, so kann dies beschrieben werden durch eine
Abbildung des Zustandes x ∈ S in einen Rekonstruktionsraum durch eine Messfunktion
h :
S ⊂ R k → R n
x ↦→ h(x) = (u 1 , . . . , u n ) .
(1.31)
Diese Messfunktion bildet somit Trajektorien aus S im Phasenraum in den R n ab.
Um eine Rekonstruktion der Langzeitdynamik im Rekonstruktionsraum zu erreichen,
muss der Attraktor A ⊂ S unter der Messfunktion h erhalten bleiben. Dazu
muss diese zunächst kontinuierlich und umkehrbar jeden Zustand auf dem Attraktor
ein-eindeutig abbilden, d.h. zwei Messungen h(x i ) und h(x j ) mit i ≠ j dürfen nur
dann identisch sein, falls auch x i = x j gilt. Ansonsten könnten sich im Rekonstruktionsraum
Trajektorien schneiden und die rekonstruierte Dynamik wäre nicht mehr
deterministisch. Von einer Einbettung spricht man, wenn auch die differenzierbaren
Anteile des Attraktors unter h erhalten bleiben (in der mathematischen Sprache
bezeichnet man eine Abbildung mit dieser Eigenschaft als Immersion). Dies stellt
sicher, dass auch Stabilitätseigenschaften des Attraktors erhalten bleiben, d.h. auch
Fix-, Knoten- und Sattelpunkte in die Rekonstruktion übertragen werden. Eine solche
Einbettung kann auch als nichtlineare Koordinatentransformation verstanden