Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 1. Grundlagen Seite 9
1.1 Dynamische Systeme
Unter einem dynamischen System versteht man ganz allgemein kontinuierlich oder
diskret beobachtbare Objekte mit messbaren Eigenschaften, die sich nach bestimmten
Regeln zeitlich ändern. Die Objekte werden durch Zustandsvektoren in einem
endlich-dimensionalen Zustandsraum x ∈ M ⊂ R d beschrieben. Das dynamische
System ist definiert durch eine stetige Abbildung
die folgende Eigenschaften erfüllt:
Φ : K × M → M (1.1)
Φ(0, x) = x für alle x ∈ M (1.2)
Φ(d, Φ(t, x)) = Φ(t + d, x) für alle d, t ∈ R, x ∈ M . (1.3)
Wie man an diesen Eigenschaften abliest, definiert die Abbildung Φ die zeitliche
Entwicklung eines Zustandes x, wobei der Parameter t die Zeit darstellt. Dieser ist
entweder eine ganze Zahl (K = Z) oder reell (K = R), wobei man von zeitdiskreten
bzw. zeitkontinuierlichen Systemen spricht. Falls Φ nicht invertierbar ist, muss der
Parameter t auf positive Werte eingeschränkt werden. Bei kontinuierlichen Systemen
wird die Abbildung Φ auch als Fluss bezeichnet.
Betrachtet man die zeitliche Entwicklung eines bestimmten Zustandes x ∈ M, so
erhält man eine Bahnkurve (Trajektorie oder auch Orbit) im Zustandsraum, die
durch die aus dem Fluss abgeleitete Abbildung
α x : R → M
t ↦→ Φ(t, x) (1.4)
gegeben ist. Da die Trajektorie durch einen Zustandsvektor bereits eindeutig bestimmt
ist, können sich Trajektorien im Zustandsraum nicht schneiden, oder anders
gesagt: haben zwei Trajektorien einen Punkt gemeinsam, so sind sie identisch.
Es soll nun ein sog. autonomes System betrachtet werden, wo die zeitliche Ableitung
durch ein stetig differenzierbares Vektorfeld F : M → R d gegeben ist, d.h. es gilt
dx
dt
= F(x) . (1.5)