Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Seite 34
2.4. Validierung lokaler Modelle
Aussagekraft; insb. ist der Satz an Parametern, der den Einschritt-Vorhersagefehler
minimiert in der Regel nicht identisch mit dem Satz, der auch bei mehr als einem
Vorhersageschritt die besten Ergebnisse liefert. Robuste Ergebnisse erhält man daher
erst, wenn man die Fehler für mehrere iterierte Vorhersageschritte summiert.
Dies ergibt den p-Schritt Vorhersagefehler
MSE p = 1
p|T ref |
[
∑ (st+1
− f t (x t ) ) p−1
∑
2 (
+ st+i+1 − f t+i (ˆx t+i ) ) ]
2
. (2.12)
t∈T ref i=1
Hierbei stammt nur der erste Punkt x t aus dem Datensatz, während alle weiteren
iterierten Vorhersagen auf den geschätzten Punkten ˆx t+i basieren.
Aufgrund des chaotischen Verhaltens der betrachteten Systeme kann die Anzahl der
Schritte p nicht beliebig groß gemacht werden. Verlässt man den Vorhersagehorizont
des Modells, so wird der Vorhersagefehler sehr groß und liefert keine sinnvolle
Aussage mehr. Die Anzahl der möglichen Vorhersageschritte hängt natürlich vom
jeweiligen System ab; bei kontinuierlichen Systemen spielt zudem die gewählte Abtastrate
eine erhebliche Rolle.
Bei eng abgetasteten Zeitreihen gibt es ein weiteres Problem: nimmt man für die
LOO-CV einen Testpunkt aus dem Datensatz heraus und sucht in der verbleibenden
Trainingsmenge dessen nächste Nachbarn, wird man mit hoher Wahrscheinlichkeit
Punkte direkt vor und direkt hinter dem Testpunkt finden. Dies verfälscht jedoch
das Ergebnis, da dies bei einem “echten” Anfragepunkt, der nicht einfach aus dem
Datensatz entnommen wurde, nicht der Fall ist. Es ist daher sinnvoll, eine bestimmte
Anzahl an Punkten vor und hinter dem Testpunkt von der Suche nächster Nachbarn
auszuschließen. Zur Wahl dieses zusätzlichen Parameters bietet sich die mittlere
Wiederkehrzeit des Systems an [25]. Sie wird nach folgendem Algorithmus berechnet:
• Wähle zufällig einen Punkt x i aus dem Datensatz.
• Bestimme die Distanz d(x i , x i+p ) mit p = 1, 2, . . . zwischen diesem Punkt und
den nachfolgenden Punkten.
• Bestimmte den additiven Index p, ab dem die Distanz erstmals wieder kleiner
wird. Dieser ist dann gerade die halbe Wiederkehrzeit für den Index i.
• Wiederhole diese Schritte für genügend Punkte i des Datensatzes und bestimme
den Mittelwert aller p i . Dieser ist gerade die halbe Wiederkehrzeit des
Systems.
Vor der Modellierung wird die mittlere Wiederkehrzeit des Systems berechnet, die
im Folgenden mit dem Parameter c bezeichnet wird. Der Ausschluss aller Punkte