Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 1. Grundlagen Seite 19
werden, wobei Größen wie Dimension und Lyapunov-Exponenten unter dieser invariant
sind und somit anhand des Bildes h(A) des Attraktors berechnet werden
können.
Die Frage, unter welchen Voraussetzungen h eine Einbettung ist, wurde zuerst 1936
mit dem Einbettungstheorem von Whitney für glatte Mannigfaltigkeiten beantwortet
und 1991 von Sauer et al. für kompakte Untermengen mit fraktaler Struktur
erweitert [32]. Es besagt, dass falls A kompakt in R k mit Box-Counting-Dimension
d liegt, sowie Φ ein Fluss auf R k und n eine ganze Zahl mit n > 2d ist, dann
sind fast alle stetig differenzierbaren Abbildungen h eine Einbettung von A in den
Rekonstruktionsraum R n .
Hierbei ist “fast jede” im maßtheoretischen Sinn zu verstehen, d.h. dass es auch mit
n > 2d passieren kann, dass eine Messfunktion keine Einbettung darstellt, jedoch
eine kleine Störung dieser Messfunktion ausreicht, um mit Wahrscheinlichkeit Eins
eine Einbettung zu erhalten [32].
Delay Einbettung
Nun ist es bei vielen Experimenten praktisch nicht möglich so viele Messungen
gleichzeitig am System vorzunehmen, dass n > 2d erfüllt ist. Nach dem Theorem
von Takens [40] ist dies ist aber auch nicht nötig: es ist ein verblüffendes Ergebnis
der Theorie dynamischer Systeme, dass bereits die kontinuierliche Messung einer einzigen
Größe ausreicht, um eine Rekonstruktion des Attraktors durchzuführen. Diese
betrachtete Messgröße sei in Form einer kontinuierlichen Messfunktion h gegeben,
die jedem Punkt x t des Phasenraums zur Zeit t eine skalare Größe s t = h(x t ) ∈ R zuordnet.
Mit dem Fluss Φ t ist dann die Delay-Koordinaten-Abbildung definiert durch
F(h, Φ, τ)(x) = ( h(x), h(Φ τ (x)), h(Φ 2τ (x)), . . . , h(Φ (n−1)τ (x)) ) , (1.32)
wobei τ die sog. Delay-Zeit ist. Das Theorem von Takens [40] und eine Erweiterung
dieses Theorems von Sauer et al. [32] besagt nun, dass auch die Delay-Koordinaten-
Abbildung F für n > 2d und fast alle (h, τ) eine Einbettung darstellt, insofern auf
dem Attraktor A keine periodischen Orbits mit Periode τ oder 2τ existieren, sowie
nur endlich viele Gleichgewichtszustände und endlich viele Orbits mit Periode pτ
mit 3 ≤ p < n, wobei die Linearisierungen dieser Orbits unterschiedliche Eigenwerte
besitzen müssen.
Allerdings gilt dieses Theorem nur für eine kontinuierliche Messfunktion mit unendlich
vielen Messwerten, die zudem rauschfrei sein müssen. Beides ist im Experiment
praktisch nicht möglich. Bei Verwendung eines A/D-Wandlers erhält man diskrete
Werte s t , deren zeitlicher Abstand durch die Sampling-Periode T gegeben ist und
die wenigstens durch Quantisierungsrauschen verfälscht sind. Auch wenn in diesem