Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

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2.1. Das Modellierungsproblem
stattfinden, beschränken sich zumeist auf den Aufbau einer geeigneten Datenstruktur
zur Suche nächster Nachbarn (siehe Abschnitt 3.10).
Das Prinzip der lokalen Modellierung birgt Vor- wie Nachteile. Eine Gegenüberstellung
des lokalen und globalen Ansatzes in der Modellierung soll in Kapitel 3.11
gegeben werden.
2.1.2 Vorhersage von Zeitreihen
Die lokale Modellbildung kann für jedes Modellierungsproblem angewandt werden.
Ein wichtiger Spezialfall und Hauptthema dieser Arbeit ist die Vorhersage von
Zeitreihen nichtlinearer dynamischer Systeme. Gegeben ist hier eine Zeitreihe
(s 1 , . . . , s n ) mit s i ∈ R und das Modellierungsproblem ist gegeben durch die Berechnung
eines Schätzers für einen späteren Wert der Zeitreihe s n+l mit l ∈ N.
Es ist eine inhärente Eigenschaft chaotischer Systeme, dass ihre Dynamik aufgrund
mindestens eines positiven Lyapunov-Exponenten nur für kurze Zeiträume vorhergesagt
werden kann. Insbesondere die Vorhersage einer chaotischen Zeitreihe über
mehrere iterative Schritte stellt ein schwieriges Problem dar, da selbst kleinste Fehler
zu einem exponentiellen Auseinanderstreben der geschätzten von der “wahren”
Trajektorie führen. Die Strategie, lokale Modelle für diese Aufgabe zu verwenden,
wurde erstmals von Farmer und Sidorowich formuliert [11].
Wie in Kapitel 1.1.5 besprochen ist es nicht möglich, direkt im Phasenraum die Dynamik
zu modellieren. Stattdessen muss aus der Zeitreihe zunächst über die Methode
der Delay-Einbettung der Attraktor des dynamischen Systems rekonstruiert werden.
Die Vorhersage der Zeitreihe kann dann anhand des rekonstruierten Attraktors erfolgen.
Bei der Delay-Einbettung einer Zeitreihe bestehend aus n Samples erhält
man n − τ(d − 1) Delay-Vektoren, wobei τ der Delay und d die Dimension der Einbettung
ist. Zur Vereinfachung der Notation sei im Folgenden ñ = n − τ(d − 1) und
˜t = t − τ(d − 1).
Das Vorgehen für eine Vorhersage über l Zeitschritte ist wie folgt:
1. Einbettung der Zeitreihe durch Bildung von Delay-Vektoren
x˜t = (s t , s t−τ , . . . , s t−(d−1)τ ) ∈ R d , i = τ(d − 1) + 1, . . . , n (2.2)
2. Suche in den Delay-Vektoren x 1 , . . . , xñ−1 nach k nächsten Nachbarn
x nn(1) , . . . , x nn(k) des letzten Delay-Vektors xñ. Hierbei seien nn(1), . . . , nn(k)
die Indizes dieser nächsten Nachbarn. Alternativ kann anstelle eines festen
Wertes k auch die Größe ε einer Umgebung des letzten Delay-Vektors vorgegeben
werden (range search). Die nächsten Nachbarn sind die Eingabevektoren
des Modellierungsproblems.