Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 3. Lokal polynomiale Modellierung Seite 55
wie beim lokal konstanten Modell. Zwar existieren durchaus “hellere” und “dunklere”
Flächen, diese sind bei näherer Betrachtung aber nicht einheitlich ausgefüllt
sondern “gemustert”. Es ist daher eher unwahrscheinlich, auf Basis der Betrachtung
nächster Nachbarn für einen Anfragepunkt den optimalen Parameterwert zu
erhalten.
−1
−1
20
−0.5
15
−0.5
15
x 2
0
10
x 2
0
10
0.5
5
0.5
5
1
−1 −0.5 0 0.5 1
x 1
1
−1 −0.5 0 0.5 1
x 1
(a) Lokal konstant
(b) Lokal linear
Abbildung 3.8: Optimale Zahl nächster Nachbarn bei lokal konstantem und lokal
linearen Modell
Diese Vermutung bestätigt sich beim Versuch, mit der gleichen Methode wie im
vorigen Abschnitt den Parameter der Zahl der nächsten Nachbarn lokal zu variieren.
Beim Ramp-Hill-Datensatz kann eine Verbesserung der Vorhersage durch lokale
Variation der Zahl nächster Nachbarn beim lokal konstanten Modell erzielt werden,
beim lokal linearen Modell versagt diese Technik jedoch.
Stellt man ähnliche Versuche bei der Modellierung chaotischer Attraktoren an, so
zeigen sich dort selbst beim lokal konstanten Modell keine zusammenhängenden
Bereiche mit gleicher optimaler Zahl nächster Nachbarn. Eine lokale Variation dieses
Parameters bringt daher meist keine Verbesserung der Vorhersage, im Gegenteil:
häufig bewirkt die lokale Variation eine Verschlechterung des Modells verglichen mit
einer optimalen globalen Wahl der Parameter. Eine Betrachtung im Detail zeigt, dass
zwar für viele Punkte gute Parameter gewählt werden, jedoch immer ein nicht zu
vernachlässigender Prozentsatz existiert, wo die Methode der lokalen Parameterwahl
versagt und dies letztlich den Fehler nach oben treibt. Auch die lokale Variation des
Parameters λ der exponentiellen Metrik (3.19) ergibt ein ähnliches Ergebnis: bei
einigen wenigen Datensätzen ist die Variation erfolgreich, meist aber ergeben sich
ähnliche oder schlechtere Ergebnisse verglichen mit der optimalen globalen Wahl des
Parameters.
Diese Beobachtungen decken sich mit einer Untersuchung in [3], wo herkömmli-