Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Einleitung
In der Physik hat man meist den Anspruch, analytische Modelle auf Basis physikalischer
Betrachtung zu gewinnen, die im Idealfall ein mathematisches Abbild der
physikalischen “Realität” darstellen und somit verallgemeinerungsfähig sind. Was
jedoch, wenn der physikalische Vorgang gänzlich unbekannt oder zumindest so komplex
ist, dass eine Modellierung auf Basis physikalischer Betrachtungen unmöglich
ist Häufig ist nicht einmal bekannt, ob die gewonnenen Daten einem deterministischen
oder stochastischen Prozess zuzuordnen sind. Gerade bei Zeitreihen chaotischer
Systeme kann mit herkömmlichen Analyse-Methoden wie der Berechnung des
Frequenz-Spektrums oder der Autokorrelation häufig nicht zwischen diesen beiden
Fällen unterschieden werden.
Es sind daher Modelle nötig, die möglichst keinerlei Voraussetzungen an das betrachtete
System stellen und die so viel Information wie möglich aus den Daten selbst
ermitteln. Ein solches Modell betrachtet das zu modellierende System als “Black
Box” mit veränderlichen Parametern, welches gewisse Eingaben entgegennimmt und
Ausgaben liefert. Die Modellierung geschieht anhand eines genügend großen Datensatzes
von beobachteten Ein- und Ausgaben. Falls das System nicht rein zufällige
Ausgaben liefert, sollte das Modell in der Lage sein, auch für neue, bislang nicht beobachtete
Eingaben eine Schätzung für die Ausgabe zu berechnen. Das Modell sollte
genau dann versagen, wenn die Ausgabe des Systems gänzlich unabhängig von den
Eingabedaten ist. Diese Form von Modellierung trachtet somit nicht danach, physikalische
Gesetzmäßigkeiten wiederzugeben. Aber allein die Information, dass ein
System überhaupt vorhersagbar ist, lässt bereits wichtige Rückschlüsse auf die Art
der Daten zu. So kann z.B. durch Modellierung von DNA zwischen informationstragenden
und “überflüssigen” Sequenzen unterschieden werden [28]. In der Physik
kann durch Modellbildung zwischen stochastischen und chaotischen Systemen unterschieden
werden und bei letzteren lassen sich zumindest kurzfristige Vorhersagen
ermitteln. Auch lässt sich die Dimensionalität des Systems abschätzen und durch
Berechnung der Jacobi-Matrix charakteristische Größen der Dynamik bestimmen.
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der sog. lokalen Modellbildung. Ihr Prinzip
besteht darin, nur in einer Umgebung eines konkreten Anfragepunktes das Modell
zu bilden und den restlichen Bereich des Datensatzes unberücksichtigt zu lassen.
Direkte Konsequenz dieses Ansatzes ist, dass der Datensatz von Beobachtungen
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