Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Anhang B. Nichtlineare Optimierung Seite 105
zweite Bedingung (B.3) (komplementärer Schlupf) besagt, dass entweder λ i oder
c i (x 0 ) oder beide Null sein müssen. Falls λ i = 0, ist die Nebenbedingung c i bei x 0
nicht bindend (inaktiv), d.h. das Minimum von f(x) liegt im Inneren und nicht auf
dem Rand der durch die Nebenbedingung c i definierten Menge.
Bei vielen Optimierungsproblemen bestehen Nebenbedingungen darin, primale Variablen
auf positive Werte zu beschränken 1 (Nichtnegativitätsbedingungen). Zur Vereinfachung
der Notation gelte dies gerade für die ersten k ≤ d primalen Variablen.
Die Lagrange-Funktion lautet dann
˜L(x, λ, η) = f(x) +
m∑
k∑
λ i c i (x) + η j (−x j )
i=1
j=1
(B.10)
und die KKT-Bedingungen (B.2)-(B.4) liefern bei konvexen Problemen das globale
Minimum. Die zu den Nichtnegativitätsbedingungen gehörenden Lagrange-
Multiplikatoren η j können aber auch gleich Null gesetzt werden (d.h. man verwendet
(B.5) als Lagrange-Funktion) und durch die zusätzlichen Bedingungen
∂L(x 0 , λ 0 )
∂x i
≥ 0 , i = 1, . . . , k (B.11)
x i · ∂L(x 0, λ 0 )
∂x i
= 0 , i = 1, . . . , k . (B.12)
an die primalen Variablen x 1 , . . . , x k ersetzt werden. Falls in (B.12) gerade x i = 0
gilt, handelt es sich hier um ein Randminimum, für x i > 0 um ein inneres Minimum
bezüglich der i-ten Koordinate.
B.2 Duale Formulierung
Unter einer Dualfunktion versteht man eine Funktion F (x) die eine Schranke für
die zu optimierende Primalfunktion f(x) darstellt. Ist wie in diesem Fall die Primalfunktion
zu minimieren, so ist die Dualfunktion eine untere Schranke für die
Primalfunktion. Eine Möglichkeit zur Formulierung einer Dualfunktion bietet die
Lagrange-Funktion, indem die Minimierung von f(x) in den primalen Variablen
(B.1) auf eine Maximierungsproblem in den dualen Variablen λ i transformiert wird.
Um dies zu zeigen, werden zunächst die notwendigen Bedingungen für ein Minimum
der Lagrange-Funktion (B.5) bezüglich der primalen Variablen x i betrachtet. Bei
ξ (∗)
i
1 Solche Bedingungen existieren auch beim SV-Problem in der Form, dass die Schlupfvariablen
positiv sein müssen.