Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 2. Lokale Modelle Seite 25
3. Betrachte nun jeweils die letzte (d-te) Komponente der zeitliche Entwicklung
der nächsten Nachbarn, d.h. x d nn(1)+l , . . . , xd nn(k)+l
. Diese können als Ausgabe
des Systems betrachtet werden.
4. Bilde nun ein Modell anhand der Menge
Ω = {( x nn(1) , x d nn(1)+l)
, . . . ,
(
xnn(k) , x d nn(k)+l
)}
(2.3)
und wende dieses auf den letzten Delay-Vektor xñ an. Die Ausgabe des Modells
ist ein Schätzer für s n+l .
Manchmal kann es sinnvoll sein, anstelle der x d nn(i)+l die Differenz xd nn(i)+l − xd nn(i) zu
verwenden. Gerade bei den sog. lokal konstanten Modellen (siehe Abschnitt 3.1) kann
dies zur einer besseren Modellierung der Dynamik führen (integrierte Mittelung) [24].
Direkte und iterierte Vorhersage
Der eben vorgestellte Algorithmus ist die sog. direkte Vorhersage über l Zeitschritte,
d.h. wir erhalten ein Modell
ŝ n+l = f l (xñ) , (2.4)
welches die Dynamik des Systems für l Zeitschritte direkt approximiert. Alternativ
kann auch ein Modell f 1 (xñ) für nur einen Zeitschritt berechnet und dieses mehrfach
hintereinander angewandt werden. Da die Ausgabe des Modells skalar ist, muss für
die ersten l − 1 iterierten Vorhersagen jeweils ein neuer Delay-Vektor konstruiert
werden, in den nach und nach die vorhergesagten Werte einfließen und der somit
auch mit wachsender Schrittweite immer ungenauer wird.
Der Vorteil der iterierten Vorhersage ist, dass die Dynamik des Systems für nur
einen Zeitschritt meist weniger komplex sein wird und somit die Qualität des Modells
höher ist als für die direkte Vorhersage. Allerdings geht dieser kleinere Fehler
in die Vorhersage des nächsten Zeitschrittes mit ein, d.h. die Fehler akkumulieren
im Laufe der iterierten Vorhersage und können letztlich einen größeren Fehler
produzieren als bei der direkten Vorhersage. Dies ist jedoch bei der Vorhersage chaotischer
Zeitreihen mit lokalen Modellen üblicherweise nicht der Fall (vgl. [11],[22]).
Die kleinen Umgebungen des Anfragepunktes reichen zur Modellierung komplexer
Dynamik über mehrere Zeitschritte im Allgemeinen nicht aus. Die iterierte Vorhersage
ist nahezu immer genauer, da der Vorteil der einfacheren Dynamik für einen
Zeitschritt den Nachteil der Fehlerakkumulation überwiegt. Nur wenn die Zeitreihe
durch Abtastung mit relativ hoher Frequenz gewonnen wurde, kann die direkte
Vorhersage Vorteile bieten. Allerdings gibt es für die iterierte Vorhersage eine ganz