Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 3. Lokal polynomiale Modellierung Seite 39
d.h. den gewichteten Mittelwert der k nächsten Nachbarn des Anfragepunktes q;
im Falle W = I wird der ungewichtete Mittelwert der nächsten Nachbarn gebildet.
Verwendet man als Umgebung nur einen nächsten Nachbarn, so ist die Ausgabe
des Modells einfach die Ausgabe dieses nächsten Nachbarn. In manchen Fällen liefert
dieses denkbar einfachste lokale Modell bereits Ergebnisse, die sich mit weitaus
komplizierteren Methoden messen können.
Das polynomiale Modell vom Grad p = 0 wird als lokal konstantes Modell bezeichnet;
in der englischen Literatur findet sich meist der Ausdruck local averaging models.
Das lokal lineare Modell ergibt sich für p = 1, d.h. es wird eine Ebene an die
skalaren Ausgabewerte der nächsten Nachbarn des Anfragepunktes gefittet, so wie
man es von der herkömmlichen linearen Regression kennt, nur dass hier noch die
Wichtungsmatrix W beteiligt ist. Die Berechnung der Ausgabe des Modells reduziert
sich auf
ŷ = [q 1] ν . (3.15)
Mit Hilfe der Singulärwertzerlegung kann der Koeffizientenvektor berechnet werden
über
ν = X † W y W =
r∑
i=1
1
σ i
〈u T i , y W 〉v i , (3.16)
wobei u i und v i die i-ten Spaltenvektoren der orthogonalen Matrizen U bzw. V aus
der Singulärwertzerlegung von X W sind (siehe Anhang A).
Natürlich könnte man jetzt immer weiter Modelle mit wachsendem p betrachten,
aber es erweist sich, dass das lokal konstante und das lokal lineare Modell bereits
die wesentlichen Anwendungsgebiete abdecken; auf sie soll daher im nächsten Abschnitt
vertiefend eingegangen werden. Polynome höheren Grades als Eins haben
Eigenschaften, die sie zum lokalen Modellieren wenig geeignet machen, insb. in Gebieten
in denen wenig Datenpunkte zur Modellierung vorhanden sind. Sie neigen
zum Überschwingen und verlassen sehr schnell den Wertebereich der Datenpunkte.
Bereits die lokal quadratischen Modelle (p = 2) sind in den meisten Fällen numerisch
zu instabil und liefern gerade bei der Mehrschrittvorhersage chaotischer Zeitreihen
schnell gänzlich falsche Ausgaben.
3.2 Vergleich von lokal konstantem und lokal linearem
Modell
Das lokal konstante und das lokal lineare Modell sind die beiden einfachsten lokalen
polynomialen Modelle, und gerade in ihrer Einfachheit liegt ihre Stärke. Es zeigt