Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 1. Grundlagen Seite 15
Im Falle von zeitdiskreten Systemen ist bei dissipativen Systemen der Betrag der
Determinanten der Jacobi-Matrix von f kleiner Eins. Weiterhin gilt, dass die Summe
aller Lyapunov-Exponenten negativ sein muss, da sonst Volumina des Phasenraums
unter Einwirkung des Flusses nicht kontrahieren würden.
Typisch für dissipative Systeme ist, dass im asymptotischen Verhalten ein Volumen
des Phasenraums asymptotisch auf eine kompakte Untermenge A ⊂ R n zustrebt,
die aufgrund ihrer “anziehenden” Eigenschaften als Attraktor bezeichnet wird. Für
einen Attraktor A gelten die folgenden Eigenschaften [38]:
• Attraktivität: Es gibt eine offene Umgebung U von A (A ⊂ U), sodass Φ(U, t) ⊂
U für t > 0 und die sich unter der Wirkung des Flusses auf A zusammenzieht,
d.h.
A = ⋂ t>0
Φ(U, t) . (1.25)
• Invarianz: Der Attraktor A ist invariant unter der Wirkung des Flusses, d.h.
aus x ∈ A folgt Φ(x, t) ∈ A.
• Nichtzerlegbarkeit: Mit wachsendem t und für fast alle x 0 gilt: Φ(x 0 , t) ∈ U a
für beliebige Umgebungen U a aller Attraktorpunkte a ∈ A.
Die letzte Eigenschaft bedeutet, dass der Attraktor A nicht in zwei abgeschlossene,
nichtüberlappende, invariante Mengen zerlegt werden kann. Die Menge aller Anfangszustände,
von denen aus Trajektorien dem Attraktor A zustreben, wird als
Einzugsgebiet oder auch Bassin des Attraktors bezeichnet. Liegt der Startpunkt einer
Trajektorie im Einzugsgebiet eines Attraktors, so verläuft sie nach Ablauf einer
gewissen Zeit, die als Transiente bezeichnet wird, ausschließlich auf diesem Attraktor
(wobei es aufgrund der asymptotischen Annäherung von der betrachteten Längenskala
abhängt, wann von einer Bewegung “auf dem Attraktor” gesprochen werden
kann). Im Falle des gedämpften frei schwingenden Pendels laufen z.B. alle Trajektorien
in den Ursprung, der somit als Fixpunkt einen Attraktor darstellt. Im Falle von
periodischen und quasiperiodischen Bewegungen sind die Attraktoren Grenzzyklen
bzw. Tori.
Auch im Falle von chaotischer Bewegung, d.h. wenn mindestens ein Lyapunov-
Exponent größer Null ist, existiert ein Attraktor. Betrachtet man ein Volumenelement
auf einem solchen Attraktor, so wächst dieses exponentiell in Richtung positiver
Lyapunov-Exponenten und schrumpft oder stagniert in den restlichen Richtungen.
Durch diese Streckung entsteht somit ein Ellipsoid, der allerdings aufgrund der
Beschränktheit des Attraktors nicht ins Unendliche weiterwachsen kann. Spätestens
wenn der Ellipsoid an den Rand des Attraktors stößt, wird er verbogen und zurückgefaltet.
Der durch dieses Strecken und Falten charakterisierte Attraktor zeigt auf