Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 1. Grundlagen Seite 13
k Lyapunov-Exponenten, insofern diese der Größe nach sortiert sind:
1
lim
t→∞ t ln[V k(t)] =
k∑
λ i . (1.15)
Die Matrix P(t) sei definiert durch die zeitliche Änderung der Basisvektoren
i=1
P(t) ≡ (U t (x 0 )b 1 , . . . , U t (x 0 )b d ) . (1.16)
Dieses Volumen kann mit Hilfe der QR−Zerlegung [45, S. 53] der Matrix P erhalten
werden. Hierfür bildet man
⎛
⎞
R 11 R 12 · · · R 1d
0 R 22 · · · R 2d
P = QR = (Q 1 , . . . , Q d ) · ⎜
⎝
.
. . ..
⎟ . ⎠ . (1.17)
0 0 · · · R dd
Die Matrix Q ist orthogonal und die obere Dreiecksmatrix R besitzt positive Diagonalelemente,
deren Produkt das Volumen (1.14) ergeben, d.h.
V k (t) =
k∏
R ii . (1.18)
i=1
Für den i-ten Lyapunov-Exponent ergibt sich somit mit Hilfe von (1.15)
1
λ i = lim
t→∞ t ln(R ii) . (1.19)
Anschaulich lässt sich dies folgendermaßen darstellen: Unter der Wirkung des Flusses
wird der anfängliche Einheitswürfel aus den Vektoren b i mit i = 1, . . . , d in den Spat
P verformt. Durch QR-Zerlegung entsteht der Quader R ii Q i , dessen Kantenlängen
gegenüber dem Einheitswürfel exponentiell mit den Lyapunov-Exponenten gewachsen
oder geschrumpft sind, der jedoch das gleiche Volumen wie der Spat P besitzt.
Üblicherweise beginnt man mit der Basis b i = I, i = 1, . . . , d, die von der Transfermatrix
U t auf die Matrix P abgebildet wird. Diese wird in diskreten Schritten mit
Abstand ∆t der QR-Zerlegung unterworfen, wobei man über die dabei entstehende