Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

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Seite 6 Inhaltsverzeichnis immer untrennbarer Teil des Modells ist und mit der Modellierung immer erst bei Vorliegen eines konkreten Anfragepunktes begonnen wird. Lokale Modelle zeichnen sich durch hohe Flexibilität, einfachen Aufbau und geringe Rechenzeiten aus. Im Gegensatz zu den lokalen stehen die globalen Modelle, die immer den gesamten vorhandenen Datensatz zur Modellierung verwenden, z.B. durch Linearkombination von Polynomen oder radialen Basisfunktionen. Die Parameter dieser Modelle müssen allerdings zuerst auf diesen Datensatz hin trainiert werden, was ein zeitaufwändiges Präprozessing erfordert. Sie sind weniger flexibel als lokale Modelle, jedoch lassen sie sich in kompakter geschlossener Form angeben und vom Datensatz trennen. Natürlich existieren auch bei lokalen Modellen verschiedene Parameter, die gut gewählt werden müssen. Diese Parameter definieren insbesondere die Umgebung eines Anfragepunktes, in der das eigentliche Modell gebildet wird. Wesentliches Ziel dieser Arbeit ist es, diese Parameter zu erläutern und Verfahren vorzustellen, die diese automatisch bestimmen. Weiterhin soll erläutert werden, welche unterschiedlichen Typen von Modellen in den Umgebungen verwendet werden können und welche Auswirkungen diese auf die Vorhersage nichtlinearer Zeitreihen haben. Hierbei soll auch auf die in den letzten Jahren zunehmend populäre Support-Vektor-Regression eingegangen werden. Auch soll untersucht werden, wie gut sich lokale Modelle zur Bestimmung von Lyapunov-Exponenten eignen, die charakteristische Größen für die Dynamik eines Systems sind. Die Arbeit gliedert sich wie folgt: Das erste Kapitel beschäftigt sich mit den Grundlagen dynamischer Systeme und chaotischer Dynamik. Hierzu wird zunächst der mathematische Rahmen erläutert und die wesentlichen Begriffe der nichtlinearen Dynamik vorgestellt. Das zweite Kapitel beschäftigt sich allgemein mit der Theorie der nichtlinearen Modellbildung und speziell mit dem bereits erwähnten lokalen Ansatz. Anhand des sog. Bias-Varianz- Dilemmas werden prinzipielle Einschränkungen bei der Modellierung erläutert und Methoden zur Validierung lokaler Modelle vorgestellt. Im dritten Kapitel wird die lokal polynomiale Modellbildung erläutert, die in den lokalen Umgebungen ein Polynom mit beliebigem Grad als Modell verwendet. Es werden Algorithmen zur Suche nach nächsten Nachbarn beschrieben, da sie ein Hauptbestandteil von lokalen Modellen sind. Die verschiedenen Arten von Parametern bei der lokal polynomialen Modellbildung werden erläutert und es wird untersucht, inwieweit diese lokal variiert werden können. Weiterhin wird ein Verfahren vorgestellt, welches eine Reduktion des Datensatzes der Beobachtungen ermöglicht und hierdurch die Parameterwahl vereinfacht. Anschließend wird ein Algorithmus zur automatischen Optimierung der Parameter vorgestellt und die Möglichkeit zur zeitlichen Variation der Parameter bei der Mehrschritt-Vorhersage untersucht. Das Kapitel schließt mit einem Vergleich des lokalen und globalen Modellierungs-Ansatzes. Das vierte Kapitel stellt die sog. Support-Vektor-Regression vor, ein Ansatz aus der statistischen Lerntheorie und ursprünglich für das Problem der Klassifikation ent-
Inhaltsverzeichnis Seite 7 worfen. Inwieweit diese Algorithmen in der lokalen Modellierung sinnvoll sind wird zusammen mit den lokal polynomialen Algorithmen im fünften Kapitel an künstlich generierten und an gemessenen Zeitreihen untersucht. Anhand des lokal linearen Modells werden die Lyapunov-Exponenten verschiedener Zeitreihen berechnet und die Abhängigkeit von der Schrittweite der Vorhersage untersucht. Die Arbeit schließt mit einer Zusammenfassung der Ergebnisse und einem Ausblick auf die mögliche weitere Entwicklung der lokalen Modelle. Im Anhang wird auf die Singulärwertzerlegung und die nichtlineare Optimierung eingegangen.
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Kapitel 4. Support-Vektor-Regressio
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Kapitel 5 Anwendungen der Modelle I
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Kapitel 5. Anwendungen der Modelle
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Kapitel 6 Zusammenfassung und Ausbl
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Anhang A Berechnung der Modellkoeff
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Anhang B Nichtlineare Optimierung F
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Anhang B. Nichtlineare Optimierung
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Literaturverzeichnis [1] J. Argyris
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Literaturverzeichnis Seite 109 [27]
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