Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Anhang A
Berechnung der Modellkoeffizienten
In diesem Anhang soll kurz auf die praktische Berechnung von (3.11) eingegangen
werden, da die numerische Stabilität, die erst durch ein Regularisierung des Modells
gewährleistet werden kann (siehe Abschnitt 3.4), eine entscheidende Rolle bei der
Genauigkeit des Modells spielt. Hierbei spielt die die Singulärwertzerlegung (SVD)
der Matrix X W eine entscheidende Rolle.
Allgemein ist für eine Matrix A ∈ R m×n die Singulärwertzerlegung gegeben durch
A = U S V T ,
(A.1)
wobei U ∈ R m×m und V ∈ R n×n orthogonal und S ∈ R m×n eine Diagonalmatrix ist.
Auf der Diagonalen von S stehen die Singulärwerte σ i , wobei mit r = Rang(A) gilt
σ 1 ≥ . . . ≥ σ r ≥ σ r+1 = . . . = σ min(m,n) = 0 .
(A.2)
Die Singulärwerte sind durch die Matrix A eindeutig bestimmt, nicht jedoch die
orthogonalen Matrizen U und V. Definiert man nun die Matrix S † durch
⎛
S † :=
⎜
⎝
⎞
1/σ 1 0 · · · 0
...
. .
1/σ r 0 · · · 0
0 · · · 0 0 · · · 0
⎟
. . . . ⎠
0 · · · 0 0 · · · 0
(A.3)
so kann man zeigen [45, Satz 6.5], dass für m ≥ n und Rang(A) = n die Pseudoinverse
von A gegeben ist durch
A † = V S † U T
(A.4)
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